Teoria Numeros C Ivorra Castillo

11.1. Convergencia de la función dseta 267
la suma de d más el diámetro de P , y el conjunto de puntos de M en esta bola
es la constante buscada.
Sea φ :[0, 1] n−1 −→ R n una función de Lipschitz que cubra una porción
de la frontera de T . Entonces rφ sigue siendo de Lipschitz y cubre la porción
correspondiente de la frontera de rT. Sea [r] la parte entera de r.
Si dividimos el intervalo [0, 1] en [r] segmentos de longitud 1/[r], el cubo
unidad queda dividido en [r] n−1 cubos cuyas imágenes por φ tienen diámetro
a lo sumo C 0 /[r], donde C 0 depende sólo de n y de la constante de φ, luego
la imagen por rφ de cada uno de estos cubos tiene diámetro a lo sumo C 1
(independiente de r).
El número de puntos x ∈ u + M tales que x + P corta a esta imagen está
acotado por una cantidad C 2 que sólo depende de M, den y de la constante de
φ, luego el número de puntos x ∈ u + M tales que x + P corta a la imagen de
rφ es a lo sumo C 2 [r] n−1 ≤ C 2 r n−1 .
Como toda la frontera está cubierta por un número finito de tales imágenes,
concluimos que f(r) ≤ Cr n−1 , para una cierta constante C.
Ahora hemos de aplicar este teorema cuando M es la imagen del ideal b por
la representación geométrica, u =0y
T = { x ∈ X ∣ ∣ | N(x)| ≤1
}
.
Ejercicio: Representar gráficamente el conjunto T para un cuerpo cuadrático real y
para un cuerpo cuadrático imaginario.
Hemos visto que, en términos de la función n(r) la función j C es
j C (r) = n( √ n
r N(b) )
. (11.2)
m
Para aplicar el teorema hemos de probar que T satisface las hipótesis. Esto
nos lleva a un cálculo bastante largo:
Todo x ∈ R st de norma no nula cumple
l(x) =ξl ∗ + ξ 1 l(ɛ 1 )+···+ ξ r l(ɛ r ), (11.3)
donde ξ,ξ 1 ,...,ξ r son números reales. El conjunto T está formado por los
vectores x que cumplen:
1. 0 < ∣ ∣ N(x)
∣ ∣ ≤ 1,
2. 0 ≤ ξ i < 1.
En la prueba del teorema 4.22 observamos que la aplicación de R st en R st
que a cada x le asigna yx (para un cierto y ∈ R st fijo) es lineal (considerando a
R st como espacio vectorial sobre R) y que su determinante es N(y).
Sea T ′ el conjunto de los puntos de T cuyas s coordenadas reales sean positivas.
Si fijamos un conjunto de s signos δ 1 ,...,δ s = ±1, entonces la multiplicación
por el punto (δ 1 ,...,δ s , 1,...,1) es una aplicación lineal de determinante
±1. En total hay 2 s aplicaciones de este tipo, que transforman el conjunto