Teoria Numeros C Ivorra Castillo

9.1. Equivalencia modular 211
Para simplificar aún más la expresión, notemos que si U p n representa al
grupo de las unidades de Z/p n Z y Up 2 al subgrupo de los cuadrados, entonces
n
|U p n : Up 2 n| = 2. En efecto, basta ver que la aplicación x ↦→ x2 tiene núcleo
{±1}, pero si x 2 ≡ 1 (mód p n ), entonces p n | x 2 − 1=(x + 1)(x − 1), y no
puede ocurrir simultáneamente que p | x +1yp | x − 1, pues restando saldría
que p | 2. Por lo tanto p n | x +1op n | x − 1, con lo que x ≡±1 (mód p n ).
Tomemos un resto no cuadrático cualquiera módulo p, digamos r. Obviamente
r tampoco es un cuadrado módulo p n , con lo que U p n = Up 2 ∪ n rU2 p n.
En particular, el número a de (9.1) se escribirá módulo p n como a = u 2 o bien
a = ru 2 , para un cierto entero u (primo con p). El cambio x ′ = ux, y ′ = uy nos
transforma (9.1) en una de las dos formas
x 2 − Dy 2 o r(x 2 − Dy 2 ), (9.2)
donde, recordemos, r es cualquier resto no cuadrático módulo p que fijemos de
antemano. Ahora distinguimos dos casos:
Si p | D, entonces las formas (9.2) son congruentes módulo p con x 2 y
rx 2 respectivamente, que se caracterizan por que una representa sólo restos
cuadráticos módulo p y la otra sólo restos no cuadráticos módulo p. En resumen:
Teorema 9.3 Si p | D, toda forma cuadrática f de discriminante D es equivalente
módulo p n con una de las formas (9.2) ysólo con una. Concretamente, f
es equivalente a la primera si y sólo si representa restos cuadráticos módulo p
y es equivalente a la segunda en caso contrario.
De acuerdo con esto, Gauss dio la definición siguiente
Definición 9.4 Sea f una forma cuadrática de discriminante D y p un primo
impar tal que p | D. Diremos que f tiene carácter positivo módulo p si f
representa restos cuadráticos módulo p. En caso contrario se dice que f tiene
carácter negativo módulo p. Equivalentemente, definimos el carácter módulo p
de f como
( ) a
χ p (f) = ,
p
donde a es cualquier número representado por f que sea primo con p.
Las consideraciones anteriores prueban que χ p (f) no depende de la elección
de a, así como que formas equivalentes módulo p n tienen el mismo carácter
módulo p. En particular, si C es una clase de equivalencia (estricta o no estricta)
de formas cuadráticas de discriminante D, podemos definir χ p (C) como
el carácter de cualquiera de sus miembros. También hemos probado que dos
formas f y g de discriminante D son equivalentes módulo p n si y sólo si tienen
el mismo carácter módulo p.
Examinemos ahora el segundo caso, es decir, p ∤ D. Entonces es claro que
los polinomios x 2 y r − Dy 2 toman cada uno (p +1)/2 valores distintos módulo
p, luego ha de haber enteros u e v que den la misma imagen, es decir, tales que