Teoria Numeros C Ivorra Castillo

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318 Capítulo 13. Cuerpos ciclotómicos Notemos que la función f(k) =(g k − g m+k )ζ k depende sólo del resto de k módulo m, pues f(k + m) =(g k+m − g 2m+k )ζ k+m =(g k+m − g k )(−1)ζ k = f(k). Por consiguiente la fórmula (13.1) se escribe equivale a ∣ 1 ∣∣∣∣ m−1 ∏ ∑ h 1 = (2p) m−1 f(k)ψ r (k) ∣ . r=0 k∈G Aplicando el teorema 13.1 (y la observación posterior) 1 ∣ h 1 = (2p) m−1 det ( (g s+t − g m+s+t )ζ s+t)∣ ∣, donde s, yt varían entre 0 y m − 1. Más aún, el determinante que aparece en la fórmula anterior es, por definición, ∑ m−1 ∏ sig σ (g s+σ(s) − g m+s+σ(s) )ζ s+σ(s) . σ∈Σ m s=0 Al agrupar las potencias de ζ de cada factor obtenemos ζ elevado al exponente 2(1 + 2 + ···m − 1) = m(m − 1), es decir, (−1) m−1 . Este signo sale factor común de todos los sumandos y se cancela con el valor absoluto que rodea al determinante. En definitiva hemos probado lo siguiente: Teorema 13.2 El primer factor del número de clases viene dado por la fórmula 1 ∣ h 1 = ∣det(gs+t (2p) m−1 − g m+s+t ) ∣ , donde s y t varían entre 0 y m − 1, yg n es el menor resto positivo módulo p de g n . Esta expresión involucra sólo números enteros y no presenta por tanto ningún problema para su cálculo efectivo. Por ejemplo, si p = 23 una raíz primitiva es g = 5. Hemos de calcular n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 1617 18 192021 g n 1 5 2 10 4 20 8 17 16 11 9 22 18 21 13 19 3 15 6 7 12 14 g n − g 11+n −21 −13 −19 −3 −15 17 −7 11 9−1 −5 211319 315−17 7 −11 −9 1 5 y de aquí ∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −21 −13 −19 −3 −15 17 −7 11 9 −1 −5 −13 −19 −3 −15 17 −7 11 9 −1 −5 21 −19 −3 −15 17 −7 11 9 −1 −5 21 13 −3 −15 17 −7 11 9 −1 −5 21 13 19 −15 17 −7 11 9 −1 −5 21 13 19 3 h 1 = 1 17 −7 11 9 −1 −5 21 13 19 3 15 46 10 −7 11 9 −1 −5 21 13 19 3 15 −17 11 9 −1 −5 21 13 19 3 15 −17 7 9 −1 −5 21 13 19 3 15 −17 7 −11 −1 −5 21 13 19 3 15 −17 7 −11 −9 −5 21 13 19 3 15 −17 7 −11 −9 1 21 13 19 3 15 −17 7 −11 −9 1 5∣
13.2. El primer factor del número de clases 319 Un ordenador calcula este determinante en fracciones de segundo. El resultado es 127.262.242.448.329.728, de donde h 1 = 3. La tabla siguiente contiene el valor de h 1 para primos p
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Capítulo II Cuerpos numéricos El
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