Teoria Numeros C Ivorra Castillo

88 Capítulo 4. Métodos geométricos
estos módulos tenemos definida la relación de similitud: Dos ideales fraccionales
a y b son similares si y sólo si existe un α ∈ K no nulo tal que b = αa. Podemos
expresar α = β/γ con β y γ enteros. Así, a y b son similares si y sólo si existen
dos enteros β y γ no nulos tales que βa = γb. Esta última ecuación puede
expresarse equivalentemente en términos de ideales como (β)a =(γ)b.
Los ideales principales generan un grupo en el grupo de todos los ideales
fraccionales. Sus elementos son de la forma (β)(γ) −1 , y es evidente que la similitud
de módulos coincide con la congruencia módulo este subgrupo. Usaremos
la notación a ≈ b para representar la similitud de ideales fraccionales.
Definición 4.15 Llamaremos grupo de clases de K al cociente del grupo de
ideales fraccionales de K sobre el subgrupo generado por los ideales principales
no nulos de K. Dos ideales fraccionales determinan la misma clase si y sólo si
son similares.
Todo ideal fraccional es de la forma α −1 a, donde α es un entero no nulo y a
es un ideal K. Evidentemente α −1 a es similar a a, luego concluimos que toda
clase del grupo de clases se puede expresar como la clase [a] de un ideal. Más
aún, el teorema 4.14 afirma que toda clase de ideales tiene un representante de
norma menor o igual que cierta cota, y ya hemos observado que sólo hay un
número finito de ideales en tales condiciones. Por lo tanto el grupo de clases es
finito, y a su número de elementos h se le llama número de clases del cuerpo
numérico K.
Ahora observamos que si dos ideales son similares, entonces uno es principal
si y sólo si lo es el otro: En efecto, si b = αa y a =(γ), entonces αγ ∈ b, luego
es un entero y de hecho b =(αγ).
Esto significa que la clase [1] = [(1)] no contiene más ideales que los principales,
luego el grupo de clases es trivial (h =1)siysólo si todos los ideales de
K son principales, si y sólo si K tiene factorización única.
Más en general, si a es cualquier ideal de K, se cumple que [a] h = 1, es decir,
a h es siempre un ideal principal.
Para aplicar el teorema 4.14 conviene definir las constantes de Minkowski
( ) t 4 n!
M st =
π n n .
Su cálculo es independiente de los cuerpos numéricos, y en estos términos
el teorema√ 4.14 afirma que todo ideal de K es similar a otro de norma a lo
sumo M st |∆|. La tabla 4.1 contiene las primeras constantes de Minkowski
redondeadas hacia arriba en la última cifra para que las cotas que proporcionan
sean correctas.
Ejemplo El cuerpo ciclotómico de orden p tiene s =0,t =(p − 1)/2. √ Para
p = 3 tenemos que todo ideal es similar a otro de norma a lo sumo M 01 3 < 1, 2,
o sea, todo ideal es similar a un ideal de norma 1, o sea, a 1, y por lo tanto el
número de clases resulta ser h = 1 y el cuerpo tiene factorización única.