Teoria Numeros C Ivorra Castillo

316 Capítulo 13. Cuerpos ciclotómicos
Los números h 1 y h 2 reciben el nombre de primer y segundo factor del
número de clases. Vemos, pues, que el segundo factor es el número de clases de
K ∗ , por lo que en particular es un número natural. Probaremos que h 1 también
lo es, y así los dos factores serán divisores del número de clases.
Ahora conviene hacer unas observaciones generales sobre caracteres de grupos
abelianos que nos permitirán simplificar las expresiones de ambos factores.
Sea G un grupo abeliano finito y V el conjunto de todas las aplicaciones de
G en C. Vimos en el capítulo XI que V es un espacio vectorial que tiene por
base a los caracteres de G. Para cada g ∈ G sea T g : V −→ V la aplicación
dada por T g (f)(t) =f(gt). Claramente T g es una aplicación lineal y si χ es
un carácter de G se cumple T g (χ) =χ(g)χ, es decir, los caracteres son vectores
propios de T g .
Sea ahora v ∈ V y consideremos T = ∑ v(g)T g . La aplicación T también
g∈G
es lineal y tiene a los caracteres por vectores propios. En efecto,
T (χ)(t) = ∑ g∈G
v(g)T g (χ)(t) = ∑ g∈G
v(g)χ(g)χ(t),
luego
(∑
T (χ) =
g∈G
)
v(g)χ(g) χ.
Por lo tanto la matriz de T en la base formada por los caracteres es una
matriz diagonal y su determinante vale
det T = ∏ ∑
v(g)χ(g).
χ
g∈G
Calculemos por otro lado el determinante de T en la base canónica de V ,
esto es, en la base {f s } s∈G formada por las funciones
{ 1 si t = s
f s (t) =
0 si t ≠ s
El coeficiente (s, t) de la matriz es
T (f s )(t) = ∑ g∈G
v(g)T g (f s )(t) = ∑ g∈G
v(g)f s (tg) =v(st −1 ).
Con esto hemos probado el teorema siguiente:
Teorema 13.1 Sea G un grupo abeliano finito y v : G −→ C. Entonces la
expresión
∏ ∑
v(g)χ(g),
χ g∈G
donde χ recorre los caracteres de G, es igual al determinante de ( v(st −1 ) ) s, t∈G .