Teoria Numeros C Ivorra Castillo

1.3. Factorización única 5
El nombre no hace referencia a que fuera el último resultado que Fermat
hubiera demostrado, sino a que a principios del siglo XIX todas las afirmaciones
que Fermat había dejado enunciadas sin demostración habían sido demostradas
o refutadas salvo ésta, que era, pues, el último ‘teorema’ de Fermat cuya prueba
faltaba encontrar.
El teorema anterior muestra que Fermat sí había probado (y comunicado) la
prueba para exponente n =4. Más aún, esto implica de hecho que el teorema
de Fermat es cierto para cualquier exponente de la forma n =4k. En efecto,
si existieran números positivos (x, y, z) tales que x 4k + y 4k = z 4k , entonces
(x k ,y k ,z k ) sería una solución a la ecuación x 4 + y 4 = z 4 , lo cual es imposible.
En particular el Último Teorema de Fermat es cierto para las potencias de dos.
De aquí se sigue ahora que si el Último teorema de Fermat es cierto para
exponentes primos impares, entonces es cierto para todo exponente. En efecto,
si existen soluciones positivas a una ecuación x n +y n = z n , entonces n no puede
ser potencia de 2, luego existe un primo impar p tal que p | n, o sea, n = pk,
para cierto entero k, luego (x k ,y k ,z k ) es una solución positiva a la ecuación
x p + y p = z p .
Observemos que si p es impar el Último Teorema de Fermat equivale a la no
existencia de soluciones enteras no triviales (o sea, con xyz ≠ 0) de la ecuación
x p + y p + z p =0,
lo que muestra que en realidad el papel de las tres variables es simétrico. Esto
simplifica algunos argumentos.
Euler demostró el teorema de Fermat para p = 3, ya en el siglo XIX, el joven
Dirichlet y el anciano Legendre demostraron independientemente el caso p =5,
pero Dirichlet fracasó al abordar el caso p =7,ysólo consiguió una prueba para
exponente 14. La complejidad de los argumentos aumentaba tan rápidamente
que p = 7 era prácticamente intratable. Más adelante Kummer llegó a probar el
teorema de Fermat para todos los exponentes menores que 100. Evidentemente
esto no fue el resultado de cálculos más prolijos todavía, sino de nuevas ideas.
Lo explicaremos con más detalle en la sección siguiente.
1.3 Factorización única
La clasificación de las ternas pitagóricas, así como el teorema 1.1, descansan
sobre la aritmética elemental. Sin embargo, la potencia de estos métodos pronto
se ve superada por la dificultad de los problemas que surgen de forma natural. El
Último Teorema de Fermat es un caso extremo, pero hay ejemplos más simples.
El resultado siguiente es uno de los problemas planteados por Fermat:
Teorema 1.2 Las únicas soluciones enteras de la ecuación
son y = ±5, x =3.
y 2 +2=x 3