Teoria Numeros C Ivorra Castillo

56 Capítulo 3. Factorización ideal
(iii) Si a es un ideal propio, entonces D a −1 .
Sea p un ideal maximal de D tal que a ⊂ p. Entonces p −1 ⊂ a −1 . Basta
probar que p −1 contiene estrictamente a D. Sea a ∈ p no nulo. Por (i), sea
r el menor natural tal que existen ideales primos para los que p 1 ···p r ⊂ (a).
Como (a) ⊂ p y p es primo, existe un índice i tal que p i ⊂ p. Reordenando
podemos suponer que p 1 ⊂ p. Como p 1 es maximal ha de ser p 1 = p, ypor
la minimalidad de r tenemos que p 2 ···p r no está contenido en (a). Tomamos,
pues, un elemento b ∈ p 2 ···p r \ (a).
Claramente bp ⊂ (a), luego ba −1 p ⊂ a −1 (a) =D y ba −1 ∈ p −1 , pero por
otra parte b/∈ (a) =aD, luego ba −1 /∈ D. Así pues, p −1 ≠ D.
(iv) Si a es un ideal no nulo de D y S es un subconjunto de K tal que aS ⊂ a,
entonces S ⊂ D.
Sea s ∈ S. Como D es noetheriano tenemos que a =(a 1 ,...,a m ) para
ciertos a 1 ,...,a m ∈ D. Por hipótesis a i s ∈ a para i =1,...,m, luego existen
elementos b ij ∈ D de manera que
m∑
a i s = b ij a j
j=1
para i =1,...,m.
Esto puede expresarse matricialmente mediante la ecuación s(a j ) t = B(a j ) t ,
donde llamamos B =(b ij ). Equivalentemente, (B − sI m )(a j ) t = 0. Por consiguiente
la matriz B − sI m no puede ser regular, pues entonces multiplicando
por su inversa concluiríamos que (a j ) = 0, lo cual es imposible. Por lo tanto
|B − sI m | = 0 y el polinomio p(x) =|B − xI m |∈D[x] esmónico, no nulo y
tiene por raíz a s. Por la hipótesis 3) tenemos que s ∈ D.
(v) Si p es un ideal maximal de D, entonces pp −1 = D.
Por (ii) sabemos que pp −1 es un ideal de D tal que p ⊂ pp −1 ⊂ D. Puesto
que p es maximal, ha de ser p = pp −1 o bien pp −1 = D. Si se diera el primer
caso, por (iv) tendríamos que p −1 ⊂ D, lo que contradice a (iii).
(vi) Si a ≠0es un ideal, entonces aa −1 = D.
Supongamos lo contrario. Como D es noetheriano existe un ideal a maximal
entre los que incumplen (vi). Obviamente a ≠ D. Sea p un ideal maximal tal
que a ⊂ p.
Por (ii) D ⊂ p −1 ⊂ a −1 , luego a ⊂ ap −1 ⊂ aa −1 ⊂ D. En particular el ideal
fraccional ap −1 es un ideal de D. No puede ocurrir que a = ap −1 , pues entonces
(iv) implicaría que p −1 ⊂ D en contradicción con (iii). Así pues, a ap −1 , luego
la maximalidad de a implica que ap −1 cumple (vi), es decir, ap −1 (ap −1 ) −1 = D.
Por definición de a −1 esto significa que p −1 (ap −1 ) −1 ⊂ a −1 . Por consiguiente
D = ap −1 (ap −1 ) −1 ⊂ aa −1 ⊂ D, de donde aa −1 = D, en contradicción con
nuestra hipótesis.