Teoria Numeros C Ivorra Castillo

26 Capítulo 2. Cuerpos numéricos
Definición 2.10 Un módulo de un cuerpo numérico K es un subgrupo aditivo
de K finitamente generado.
Vimos en el capítulo anterior que los módulos están asociados a clases
de equivalencia de formas: Si α 1 ,...,α r generan un módulo M, entonces la
ecuación diofántica
N(x 1 α 1 + ···+ x r α r )=c (2.3)
tiene por soluciones a (las coordenadas de) los elementos de M de norma c. Un
generador distinto da lugar a una forma equivalente.
Si M es un módulo, es obvio que para todo α ∈ M ytodom ∈ Z, se cumple
mα = 0 si y sólo si m =0oα = 0, pero esto significa que M es libre de torsión,
y los Z-módulos finitamente generados libres de torsión son libres, o sea, tienen
base, y todas las bases tienen el mismo número de elementos, llamado rango de
M (rang M).
Es inmediato que un conjunto finito de elementos de K es independiente
sobre Q si y sólo si es independiente sobre Z (una combinación lineal en Q se
convierte en una combinación lineal en Z multiplicando por un entero no nulo).
Consecuentemente si M es un módulo de K, rang M ≤ n (el grado de K).
Los módulos de rango n se llaman módulos completos. Si M es un módulo
completo, entonces una base de M como módulo es también una Q-base de K.
Si B y B ′ son dos bases de M, entonces la matriz de cambio de base tiene
coeficientes enteros, al igual que su inversa, luego su determinante ha de ser
±1. El teorema 2.7 nos da entonces que ∆[B] =∆[B ′ ], luego podemos definir
el discriminante de M como el discriminante ∆[M] de cualquiera de sus bases.
Definición 2.11 Si M es un módulo de K y α ∈ K, α ≠ 0, definimos
αM = {αm | m ∈ M},
que claramente es un módulo del mismo rango. Diremos que dos módulos M y
N son similares si existe un α ∈ K, α ≠ 0 tal que N = αM.
La similitud es una relación de equivalencia entre los módulos de K.
Ejercicio: Comprobar que si F es una forma asociada a un módulo de la forma αM,
entonces F = N(α)F ′ , donde F ′ es una forma asociada al módulo M.
Este ejercicio justifica que si estudiamos un módulo para resolver una determinada
ecuación diofántica de tipo (2.3) podemos sustituirlo por otro similar.
Observar que si α 1 ,...,α r son no nulos y generan un módulo completo M,
entonces los números 1,α 2 /α 1 ,...,α r /α 1 generan el módulo similar (1/α 1 )M
y, en particular,
K = Q(α 2 /α 1 ,...,α r /α 1 ).
Por el teorema 1.8, la forma asociada a este último generador es irreducible,
luego también lo es la forma N(x 1 α 1 +···+x r α r ), pues se diferencia de la anterior
en una constante. En resumen, las formas asociadas a módulos completos son
irreducibles. Llamaremos formas completas a las formas asociadas a módulos
completos. Éstas son exactamente las formas a las que la teoría que vamos a
desarrollar se aplica con éxito.