Teoria Numeros C Ivorra Castillo

36 Capítulo 2. Cuerpos numéricos
una de sus raíces y consideremos el cuerpo cúbico K = Q(ξ). Vamos a calcular
el orden y el determinante de K.
Partimos del orden Z[ξ], cuyo discriminante vale, según el teorema 2.8,
∆[ξ] =− N(α), donde α =3ξ 2 +2ξ − 2. Podemos hacer todos los cálculos
tomando aproximaciones racionales de los conjugados de ξ, pero esta vez vamos
a esbozar cómo se haría un cálculo algebraico exacto. Fácilmente obtenemos
que
α 2 =7ξ 2 − 74ξ − 20 y α 3 =49ξ 2 − 518ξ + 1872.
Así pues, las coordenadas de los vectores 1,α,α 2 ,α 3 en la base ξ 2 ,ξ,1 son
respectivamente (0, 0, 1), (3, 2, −2), (7, −74, −20) y (49, −518, 1872).
Por lo tanto todo se reduce a resolver el sistema de ecuaciones
p(7, −74, −20) + q(3, 2, −2) + r(0, 0, 1) = (49, −518, 1872),
cuyas soluciones son p =7,q =0,r = 2012. Esto significa que α 3 =7α 2 +2012,
luego pol mín α = x 3 − 7x 2 − 2012. El término independiente es el producto de
los tres conjugados de α cambiados de signo, luego N(α) = 2012 = 2 2 · 503.
Concluimos que ∆[ξ] =−2 2 ·503. Según el teorema anterior cabe la posibilidad
de que el 2 pueda ser eliminado. Esto será así si alguno de los siete números
siguientes es entero:
1
2 , ξ
2 , 1+ξ
2 , ξ 2
2 , ξ + ξ 2
,
2
1+ξ 2
,
2
1+ξ + ξ 2
.
2
El lector puede demostrar que β = ξ+ξ2
2
es entero calculando su polinomio
mínimo por el mismo método con que hemos calculado el de α. Concretamente
se obtiene
pol mín β = x 3 − 2x 2 +3x − 10.
[1,ξ, ξ+ξ2
2
]
El teorema anterior nos dice que ∆
= −503, y como es libre
]
de cuadrados, ha de ser el discriminante de K, o sea, O K = Z
[ξ, ξ+ξ2
2
y
∆ K = −503.
Ejercicio: Calcular el orden maximal y el discriminante del cuerpo Q(ζ), donde ζ es
una raíz del polinomio x 3 − x − 1.
Ejercicio: Sean K 1, K 2 y K 3 los cuerpos que resultan de adjuntar a Q una raíz de
los polinomios
x 3 − 18x − 6, x 3 − 36x − 78, o x 3 − 54x − 150
respectivamente. Probar que los tres tienen discriminante ∆ = 2 2 · 3 5 · 23.