Teoria Numeros C Ivorra Castillo

52 Capítulo 3. Factorización ideal
Demostración: Basta probar que todo ideal primo (no nulo) tiene un
inverso y es maximal, pues entonces todo ideal no nulo será inversible por ser
producto de ideales primos (inversibles) y todo ideal fraccional será inversible
porque es de la forma (c) −1 b, donde (c) −1 es ciertamente inversible y b es un
ideal, luego inversible también.
Vemos primero que todo ideal primo inversible es maximal. Sea p un ideal
primo. Hay que demostrar que si d ∈ D \ p entonces p +(d) =D. En caso
contrario existen ideales primos tales que p+(d) =p 1 ···p r y p+(d 2 )=q 1 ···q s .
Es fácil ver que
( ) (
p +(d) /p = p1 /p ) ···(p
r /p ) (
y p +(d 2 ) ) /p = ( q 1 /p ) ···(q
s /p ) .
El ideal ( p +(d) ) /p = ( [d] ) es principal y D/p es un dominio íntegro, luego
tiene inverso por el teorema anterior, el cual nos da también que todos los ideales
primos p 1 /p, ... , p r /p tienen inverso como ideales de D/p.
Lo mismo ocurre con q 1 /p, ... , q s /p. Igualamos:
(
q1 /p ) ···(q
r /p ) = ( [d 2 ] ) = ( [d] ) 2 (
= p1 /p ) 2
···(
ps /p ) 2
.
Otra aplicación del teorema anterior nos da que s =2r y que, ordenando
adecuadamente, p i /p = q 2i /p = q 2i−1 /p. De aquí se sigue que p i = q 2i = q 2i−1 ,
y de aquí a su vez obtenemos que p +(d 2 )= ( p +(d) ) 2
. Consecuentemente
p ⊂ p +(d 2 )= ( p +(d) ) 2
⊂ p 2 +(d).
Todo elemento de p es, pues, de la forma c + ad, con c ∈ p 2 y a ∈ D, pero
como p es primo y d/∈ p, ha de ser a ∈ p, lo que prueba que p ⊂ p 2 + p(d) ⊂ p,
es decir, p = p 2 + p(d), y como p tiene inverso, 1 = p +(d), contradicción.
Finalmente, si p es cualquier ideal primo no nulo, sea c ∈ p, c ≠ 0. Como
D es un dominio de Dedekind podemos factorizar (c) =p 1 ···p r ⊂ p, donde los
ideales primos p i son todos inversibles (por el teorema anterior, ya que (c) loes)
y en consecuencia maximales (por lo ya probado). Por definición de ideal primo,
algún ideal p i está contenido en p, luego por maximalidad p = p i es maximal y
tiene inverso.
Ahora ya podemos trabajar con dominios de Dedekind como si fueran dominios
de factorización única.
Definición 3.5 Sea D un dominio de Dedekind. Diremos que un ideal b divide
a un ideal a si existe un ideal c tal que a = bc. Lo representaremos b | a. Notar
que en tal caso c = ab −1 . Claramente b | a siysólo si ab −1 es un ideal.
Observar que b | a si y sólo si a ⊂ b. En efecto, si b | a entonces a = bc ⊂ b
ysia ⊂ b la propia definición de producto nos da que ab −1 ⊂ bb −1 =1=D,
luego el ideal fraccional ab −1 es de hecho un ideal y por lo tanto b | a.
Así un ideal p es primo si y sólo si p ≠ 1 y cuando p | ab entonces p | a o p | b,
es decir, el concepto de ideal primo en un dominio de Dedekind es formalmente
análogo al de primo real en un dominio de factorización única.