Teoria Numeros C Ivorra Castillo

1.7. Ecuaciones definidas por formas 15
La teoría que vamos a desarrollar resolverá estos problemas para una familia
bastante amplia de formas. Para empezar, éstas habrán de admitir una representación
del tipo N(x 1 α 1 + ··· + x r α r ), y entonces los problemas indicados
se pueden reformular, tal y como vimos en la sección anterior, en términos del
módulo generado por los números algebraicos α 1 ,...,α r .
Una técnica básica en la resolución de ecuaciones es transformarlas en otras
equivalentes, es decir, con las mismas soluciones, pero cada vez más sencillas.
Aunque esto no basta para resolver ecuaciones diofánticas, al menos nos da
cierta libertad para simplificar el problema lo más posible. En primer lugar notemos
que al multiplicar una ecuación por una constante (racional) no nula, las
soluciones (enteras) no varían, por lo que en muchos casos podremos considerar
que una forma y uno cualquiera de sus múltiplos son ‘la misma forma’, en el
sentido de que podremos reemplazar una por otra. Esto supone que admitimos
trabajar con formas con coeficientes racionales, no necesariamente enteros.
Hay otro sentido en el que dos formas pueden ser mutuamente reemplazables:
Definición 1.4 Diremos que dos formas F (x 1 ,...,x r ), G(y 1 ,...,y s ) del mismo
grado son equivalentes (en sentido amplio) si cada una puede obtenerse de la otra
a partir de un cambio de variables lineal con coeficientes enteros. Diremos que
son equivalentes si r = s y la matriz del cambio de variables tiene determinante
±1 (con lo que tenemos dos cambios de variables mutuamente inversos).
Por ejemplo, las formas
x 2 +7y 2 + z 2 − 6xy +6yz − 2xz y 2u 2 − v 2
son equivalentes (en sentido amplio), pues los cambios de variables
x = 3v u = −x +2y + z
y = u + v v = x − y − z
z = −u + v
convierten una en otra.
Es claro que en esta situación una solución entera de una de las formas
da lugar a una solución entera de la otra mediante las fórmulas de cambio de
variables, luego sabemos resolver una si y sólo si sabemos resolver la otra.
Ejercicio: Probar que si los números algebraicos α 1,...,α r y β 1,...,β s generan un
mismo módulo de un cuerpo numérico K entonces las formas N(x 1α 1 + ···+ x rα r)
y N(x 1β 1 + ···+ x sβ s)son equivalentes en sentido amplio, y si ambos son bases del
mismo módulo entonces son equivalentes.
Este ejercicio muestra que a cada módulo le podemos asociar una única
clase de equivalencia (en sentido amplio) de formas, así como que toda forma
es equivalente en sentido amplio a una forma N(x 1 α 1 + ··· + x r α r ), donde
α 1 ,...,α r forman una base de un cierto módulo. (Notemos que todo módulo es
un Z-módulo finitamente generado y libre de torsión, luego es libre.)
El teorema siguiente muestra cómo la equivalencia de formas nos permite
pasar a formas con propiedades adicionales de interés: