Teoria Numeros C Ivorra Castillo

190 Capítulo 8. El teorema de Hasse-Minkowski
Los cinco coeficientes son congruentes con ±1 (mód 4) y, como hay cinco,
debe haber dos pares congruentes (mód 4), digamos
ɛ 1 ≡ ɛ 2 (mód 4) y ɛ 3 ≡ ɛ 4 (mód 4).
Entonces ɛ 1 + ɛ 2 ≡ ɛ 3 + ɛ 4 ≡ 2 (mód 4), luego ɛ 1 + ɛ 2 + ɛ 3 + ɛ 4 =4γ, donde γ
es un entero diádico. Tomando x 1 = x 2 = x 3 = x 4 =1,x 5 =2γ resulta que
f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 )=4γ + ɛ 5 4γ 2 =4γ(1 + ɛ 5 γ) ≡ 0 (mód 8)
y se concluye como en el caso anterior.
El teorema 8.5 nos da la siguiente consecuencia inmediata:
Teorema 8.21 Toda forma cuadrática regular con cuatro o más variables representa
a todos los números p-ádicos no nulos.
Otra consecuencia importante del teorema 8.19 (junto con el teorema 8.16)
es la siguiente:
Teorema 8.22 Si ɛ 1 ,...,ɛ r son unidades p-ádicas con p ≠2y r ≥ 3, entonces
la forma cuadrática ɛ 1 x 2 1 + ···+ ɛ r x 2 r representa 0 en Q p .
8.3 Formas binarias en cuerpos p-ádicos
Ahora nos ocupamos de las formas cuadráticas binarias. El problema de si
una forma binaria regular representa un número p-ádico dado se reduce, pasando
a una forma equivalente y dividiendo entre un coeficiente, a si una forma del
tipo x 2 − αy 2 representa a un cierto número p-ádico, con α ≠ 0. Llamemos
N α al conjunto de los números p-ádicos no nulos representados por esta forma.
Teniendo en cuenta el teorema 8.5
β ∈ N α ⇔ x 2 − αy 2 representa β ⇔ αx 2 + βy 2 − z 2 representa 0.
Observemos que si α no es un cuadrado en Q p entonces
x 2 − αy 2 = ( x − y √ α )( x + y √ α ) = N ( x + y √ α ) ,
donde N es la norma de la extensión Q p
(√ α
)
/Qp , con lo que N α es la imagen
por la norma del grupo multiplicativo de Q p
(√ α
)
. En particular es un subgrupo
de Q ∗ p. Si por el contrario α es un cuadrado en Q p entonces la forma x 2 − αy 2
representa0yenconsecuencia a todos los números p-ádicos, por lo que N α = Q ∗ p.
De hecho en este caso la extensión Q p
(√ α
)
/Qp es trivial, y N α sigue siendo el
grupo de las normas no nulas de la extensión.
Puesto que la forma x 2 − αy 2 representa todos los cuadrados, tenemos las
inclusiones Q ∗2
p ⊂ N α ⊂ Q ∗ p. Los teoremas 8.11 y 8.13 prueban que el índice
|Q ∗ p : N α | es finito. Ya hemos dicho que si α es un cuadrado entonces N α = Q ∗ p.
En el caso contrario tenemos:
Teorema 8.23 Si α ∈ Q ∗ p no es un cuadrado, entonces |Q ∗ p : N α | =2.