Teoria Numeros C Ivorra Castillo

9.3. El número de géneros 227
Consideremos un ideal ambiguo a ≠ 1 y descompongámoslo en factores primos.
Si p es uno de los primos de a, según probamos en el capítulo III (ver
tabla 3.1) hay tres posibilidades: o bien p = p es un primo racional, o bien
N(p) =p = pq, con q ≠ p (y entonces q = ¯p, por el teorema 3.17), o bien
N(p) =p = p 2 .
Descartamos la primera posibilidad por definición de ideal ambiguo. El
segundo caso tampoco puede darse, pues como p | a, también ¯p | ā = a, luego
p = p¯p | a, en contra de la definición de ideal ambiguo.
Esto prueba que los únicos factores primos posibles de los ideales ambiguos
son los primos p tales que N(p) =p 2 ,yéstos son exactamente los que dividen al
discriminante D del orden que estamos considerando. Más aún, la multiplicidad
de p en a tiene que ser 1, o de lo contrario N(p) =p 2 dividiría a a.
Recíprocamente, si a es un ideal formado por productos de divisores primos
de D con multiplicidad 1, es claro que a es un ideal ambiguo. Si llamamos m al
número de divisores primos de D, tenemos que el número de ideales ambiguos
es 2 m (incluyendo al ideal 1, que no tiene factores primos).
Si demostramos que cada clase ambigua contiene exactamente dos ideales
ambiguos habremos demostrado que hay exactamente 2 m−1 clases ambiguas,
luego también 2 m−1 géneros, tal y como queremos demostrar.
La clave de la prueba es un sencillo resultado debido a Gauss y a Kummer,
que Hilbert generalizó hasta lo que ahora se conoce como el teorema 90 de
Hilbert.
Teorema 9.21 Sea K = Q (√ d ) un cuerpo cuadrático y O su orden maximal.
Si α ∈ K cumple que N(α) =1, entonces existe un ρ ∈ O tal que α = ρ/¯ρ.
Además ρ es único salvo múltiplos por números racionales.
Demostración: Si α = −1 basta tomar ρ = √ d. En otro caso se cumple
que α =(1+α)/(1 + ᾱ). Multiplicando por un entero racional podemos exigir
que el numerador esté enO, y se cumple lo pedido.
Si ρ/¯ρ = σ/¯σ entonces ρ¯σ =¯ρσ = r ∈ Q, pues r es invariante por conjugación.
Por lo tanto
con s ∈ Q.
ρ =
r¯σ
=
rσ
σ¯σ =
r
N(σ) σ = sσ,
Teorema 9.22 Cada clase ambigua de un orden cuadrático maximal O contiene
exactamente dos ideales ambiguos. Por lo tanto O tiene exactamente 2 m−1
clases ambiguas, luego también 2 m−1 géneros, donde m es el número de divisores
primos del discriminante de O.
Demostración: Veamos en primer lugar que toda clase ambigua contiene
al menos un ideal ambiguo. Toda clase ambigua contiene un ideal a. Que la
clase sea ambigua significa que [a] =[ā], es decir, que ā = αa para un cierto