Teoria Numeros C Ivorra Castillo

336 Capítulo 13. Cuerpos ciclotómicos
Por consiguiente existe un entero p-ádico γ tal que γ p−1 = −p/(1 − ω) p−1 y
γ ≡ 1 (mód p).
Por la segunda condición, γ es una unidad p-ádica, luego π = γ(1 − ω) es
un primo. Claramente cumple la primera condición de (13.9) y π − (1 − ω) =
(γ − 1)(1 − ω) es divisible entre p 2 , luego también cumple la segunda.
Para probar la unicidad observamos que si un primo ρ cumple (13.9) entonces
(ρ/π) p−1 = 1, luego ρ = ζπ, para una cierta raíz (p − 1)-ésima de la unidad
ζ. Puesto que ζπ ≡ π (mód p 2 ), resulta que ζ ≡ 1(mód p). Si fuera ζ ≠1
entonces x − ζ dividiría al polinomio x p−2 + x p−3 + ···+ x + 1, y evaluando en
1 tendríamos 1 − ζ | p − 1, luego p | p − 1, lo cual es imposible. Por consiguiente
ζ =1yρ = π.
Veamos ahora las ventajas del primo que acabamos de construir. Sea σ el
automorfismo de K p de orden 2, esto es, el dado por σ(ω) =ω −1 . Puesto que
π y σ(π) son ambos raíces del polinomio x p−1 + p, es claro que σ(π) =ζπ, para
cierta raíz (p − 1)-ésima de la unidad ζ. Según el teorema 7.20 tenemos que
ζ ∈ Q p , luego aplicando σ de nuevo queda que π = ζ 2 π, con lo que ζ 2 = 1, o sea,
ζ = ±1. No puede ser ζ = 1 porque entonces σ(π) =π y σ sería la identidad
(por 13.13). Consecuentemente σ(π) =−π.
Los números p-ádicos reales son precisamente los números fijados por σ,
pero si expresamos un número arbitrario de K p como combinación lineal de
1,π,...,π p−2 , observamos que los números fijados por σ son los que tienen
nulas las coordenadas asociadas a las potencias impares, luego una base del
cuerpo de los números p-ádicos reales es {1,π 2 ,π 4 ,...,π p−2 }, o sea, este cuerpo
es Q p (π 2 ).
A su vez de aquí se deriva otra consecuencia notable: Si ɛ es una unidad
principal real, entonces ɛ es de la forma ɛ = a 0 + a 2 π 2 + ···+ a p−2 π p−2 , donde
los coeficientes son enteros p-ádicos por 13.13. Además 1 ≡ ɛ ≡ a 0 (mód p),
luego
1 ≤ v p (a 0 − 1) = (p − 1)v p (a 0 − 1),
con lo que en realidad 2 ≤ p − 1 ≤ v p (a 0 − 1) y de aquí que ɛ ≡ 1(mód p 2 ).
Esto significa que las unidades principales reales están en realidad en el
dominio donde el logaritmo es inyectivo, y en particular el teorema 7.26 implica
que el logaritmo de una unidad principal real es un entero p-ádico, que es uno de
los resultados que necesitábamos. Recojámoslo en un teorema junto con otros
hechos que hemos probado:
Teorema 13.14 Si ɛ es una unidad ciclotómica real, entonces log ɛ p−1 es un
entero p-ádico real de traza nula. Más aún,
log ɛ p−1 ≡ 0 (mód p 2 ).
Ya tenemos una base para los números p-ádicos reales. Ahora hemos de
quedarnos con los que tienen traza nula. Para ello calculamos Tr(π i ). Observar
que si ζ es una raíz de la unidad de orden p − 1 entonces los números ζ j π para