Teoria Numeros C Ivorra Castillo

2.1. Enteros algebraicos 21
Teorema 2.4 El conjunto E de los enteros algebraicos es un subanillo de A.
Demostración: Sean c, d ∈ E. Hay que probar que c + d y cd están en E.
Sea {v 1 ,...,v n } un generador de Z[c] y sea {w 1 ,...,w m } un generador de Z[d].
Sea M el Z-módulo generado por los todos los productos v i w j .
Todo c r se expresa como combinación lineal con coeficientes enteros de los
v i ytodod s se expresa como combinación lineal con coeficientes enteros de los
w j . Al multiplicar estas expresiones obtenemos una expresión de c r d s como
combinación lineal con coeficientes enteros de los generadores de M, luego cada
c r d s ∈ M.
En particular, Z[cd] ⊂ M, luego es un Z-módulo finitamente generado (todo
submódulo de un Z-módulo finitamente generado es finitamente generado). Por
el teorema anterior cd ∈ E.
Al desarrollar (c + d) k obtenemos una combinación lineal con coeficientes
enteros de elementos de la forma c r d s , que están en M, luego Z[c + d] ⊂ M y
también se cumple que c + d ∈ E.
Del mismo modo que todo número racional es cociente de dos números enteros,
todo número algebraico es cociente de dos enteros algebraicos. En efecto:
Teorema 2.5 Para cada c ∈ A existe un entero no nulo m tal que mc ∈ E.
Demostración: Sea pol mín c = x n + a n−1 x n−1 + ···+ a 1 x + a 0 . Sea m el
producto de los denominadores de todos los coeficientes no nulos de p(x).
Entonces m n (c n + a n−1 c n−1 + ···+ a 1 c + a 0 ) = 0, luego
(mc) n + a n−1 m(mc) n−1 + ···+ a 1 m n−1 (mc)+a 0 =0.
Por lo tanto, x n + a n−1 mx n−1 + ···+ a 1 m n−1 x + a 0 es un polinomio mónico
con coeficientes enteros del cual es raíz mc.
Desde el punto de vista de la teoría algebraica de números, los enteros usuales
son sólo un caso particular de los enteros algebraicos. Por ello es costumbre
reservar la palabra “entero” para referirse a los enteros algebraicos. Nosotros
seguiremos esta costumbre en lo sucesivo y por ello a los elementos de Z los
llamaremos “enteros racionales”, pues ciertamente son los enteros (algebraicos)
que además son números racionales.
Ejemplo Al trabajar con enteros algebraicos podemos permitirnos simplificar
los cálculos usando aproximaciones racionales sin más precaución que vigilar
que los errores de redondeo no lleguen a media unidad, con lo que pueden ser
compensados al final tomando el entero más próximo al resultado. Como ilustración
consideremos una raíz α del polinomio x 3 +4x + 1. Obviamente es un
entero, luego también lo es 2 + α 2 . Supongamos que queremos conocer el polinomio
mínimo de éste último. Una forma de hallarlo es buscar aproximaciones
racionales de los tres conjugados de α, a saber:
α 1 = −0, 246266, α 2 =0, 123133 + 2, 01134 i, α 3 =0, 123133 − 2, 01134 i,