Teoria Numeros C Ivorra Castillo

268 Capítulo 11. La función dseta de Dedekind
T ′ en 2 s conjuntos disjuntos de la misma medida y cuya unión es T . Basta probar
que T ′ es acotado, medible y que su frontera es parametrizable Lipschitz de
grado n − 1, pues entonces T también será medible y acotado, µ(T )=µ(T ′ )2 s y
su frontera será parametrizable Lipschitz de grado n − 1 (ya que está contenida
en la unión de las fronteras de las 2 s imágenes de T ′ ).
Representemos las coordenadas de un punto x ∈ R st como
x =(x 1 ,...,x s ,y 1 + iz 1 ,...,y t + iz t ).
Estamos identificando R st con R n , con lo que x se identifica con la n-tupla
(x 1 ,...,x s ,y 1 ,z 1 ,...,y t ,z t ).
Según la ecuación (4.3), las componentes de l(x) suman log ∣ ∣ N(x)
∣ ∣ , pero
sumando en el miembro derecho de (11.3) y teniendo en cuenta que las componentes
de l(ɛ i ) suman log 1 = 0, tenemos que log ∣ ∣ N(x)
∣ ∣ = ξ(s +2t) =nξ.
Por lo tanto (11.3) se convierte en
l(x) = 1 n log∣ ∣ N(x)
∣ ∣l ∗ + ξ 1 l(ɛ 1 )+···+ ξ r l(ɛ r ). (11.4)
Ahora hacemos el cambio de variables
x i = ρ i , i =1,...,s,
y j = ρ s+j cos θ j , j =1,...,t,
z j = ρ s+j sen θ j , j =1,...,t.
Se comprueba fácilmente que el determinante jacobiano es ρ s+1 ···ρ s+t . Veamos
cuál es la expresión de T ′ en estas coordenadas.
En primer lugar, si x ∈ T ′ , entonces N(x) = s+t ∏
, donde e i = 1 para
i =1,...,s y e i = 2 para i = s +1,...,t,yl i (x) = log ρ ei
i . La ecuación (11.4)
equivale al sistema de ecuaciones
i=1
ρ ei
i
log ρ ej
j
= e s+t
j
n log ∏
i=1
ρ ei
i +
r∑
ξ k l j (ɛ k ). (11.5)
k=1
Por lo tanto el conjunto T ′ está formado por los puntos de coordenadas
tales que
1. 0 < s+t ∏
i=1
(ρ 1 ,...,ρ s+t ,θ 1 ,...,θ t )
ρ ei
i ≤ 1, 0 ≤ θ 1 ,...,θ t < 2π.
2. En (11.5) se cumple 0 ≤ ξ k < 1.