Teoria Numeros C Ivorra Castillo

334 Capítulo 13. Cuerpos ciclotómicos
Si aplicamos el teorema anterior al primo π = ω − 1 concluimos que
K p = Q p (1,π,π 2 ,...π p−2 )=Q p (π) =Q p (ω),
luego K p es la extensión ciclotómica de orden p de Q p . Además tiene grado p−1,
luego el grupo de Galois es cíclico de orden p − 1, todas las raíces de la unidad
distintas de 1 son conjugadas y los Q p -automorfismos K p están determinados por
σ i (ω) =ω i , para i =1,...,p−1. A su vez esto implica que los Q p -automorfismos
de K p son extensiones de los Q-automorfismos de K, y por consiguiente la norma
y la traza de K p /Q p extienden también a las de K/Q. ( )
Dado un automorfismo σ yunα ∈ O p , por definición v p σ(α) es la multiplicidad
de π en σ(α), que coincide con la multiplicidad de σ(π) enσ(α) (pues
σ(π) también es primo y todos los primos de K p son( asociados), ) que a su vez
coincide con la multiplicidad de π en α. Es decir, v p σ(α) = vp (α). De aquí
se sigue esto mismo para todo α ∈ K p , luego |σ(α)| p = |α| p , es decir, que los
automorfismos son isometrías. En particular son homeomorfismos.
Esto implica que un Q p -automorfismo de K p deja fijos los elementos de un
subcuerpo L de K si y sólo si deja fijos a los elementos de la clausura de L
en K p . Teniendo en cuenta el teorema de Galois resulta que la aplicación que
a cada subcuerpo L de K le asigna su clausura en K p es una biyección entre
los subcuerpos de K y los subcuerpos de K p que contienen a Q p . Además esta
biyección conserva los grados.
En particular el cuerpo K ∗ = K ∩ R tiene grado m =(p − 1)/2 sobre Q p .A
los elementos de este cuerpo los llamaremos números p-ádicos reales.
Finalmente notamos que según el teorema 7.25 tenemos definida una función
logaritmo exactamente sobre los enteros p-ádicos de la forma ɛ =1+x, con
v p (x) ≥ 1, es decir, en las unidades ɛ ≡ 1 (mód p). A estas unidades las
llamaremos unidades principales. Sin embargo, el logaritmo sólo es biyectivo
restringido a un dominio menor, a saber, sobre el conjunto de las unidades que
cumplen ɛ ≡ 1 (mód p 2 ). Si ɛ es una unidad de este tipo, entonces el teorema
7.26 garantiza además que log(ɛ) es un entero múltiplo de p 2 (en efecto,con la
notación del capítulo VII tenemos e = p − 1yκ = 2).
Ejercicio: Probar que log ω =0.
Recordemos que nuestra intención es tomar logaritmos en la ecuación (13.7),
pero sucede que las unidades involucradas no tienen por qué ser principales.
Ahora bien, puesto que O p /p ∼ = Z/pZ, es claro que ɛ p−1 ≡ 1(mód p) para toda
unidad p-ádica ɛ, o sea ɛ p−1 es siempre una unidad principal. Podemos, pues,
elevar la ecuación a p − 1 y tomar logaritmos:
p log ɛ p−1 =
m∑
k=2
c k log θ p−1
k
. (13.8)
Ahora observamos que las unidades que aparecen son enteros ciclotómicos
reales, luego los logaritmos son números p-ádicos reales (el logaritmo es una serie
de potencias y cada suma parcial está enK ∗ , luego la suma está en la clausura
de este cuerpo). No es evidente, pero también probaremos que son enteros.