Teoria Numeros C Ivorra Castillo

42 Capítulo 2. Cuerpos numéricos
Demostración: Sea ω una raíz p-ésima primitiva de la unidad. Como los
enteros ciclotómicos son el anillo Z[ω], una base entera de Q(ω) está formada
por 1, ω, ... , ω p−1 . El polinomio mínimo de ω es p(x) = xp −1
x−1
y su derivada
vale
p ′ (x) = pxp−1 (x − 1) − (x p − 1)
(x − 1) 2 ,
luego p ′ (ω) = pωp−1
ω−1
.Así pues,
N ( p ′ (ω) ) = pp−1 · 1 p−1
p
= p p−2 .
Como p es impar, (−1) p(p−1)/2 =(−1) (p−1)/2 y por 2.8
∆[ω] =(−1) (p−1)/2 p p−2 .
Respecto a los cuerpos ciclotómicos de orden arbitrario, nos conformaremos
con el hecho siguiente:
Teorema 2.30 Sea K = Q(ω) el cuerpo ciclotómico de orden m (donde ω es
una raíz m-sima primitiva de la unidad). Si p es un primo que no divide a m,
entonces tampoco divide al discriminante ∆[ω].
Demostración: Sea n = φ(m). Según se observa en la prueba del teorema
2.7, se cumple que
∆[ω] =
∏ (
σi (ω) − σ j (ω) ) 2
, (2.9)
1≤i