Teoria Numeros C Ivorra Castillo

222 Capítulo 9. La teoría de los géneros
Demostración: Acabamos de probar que 1) implica 2).
2) implica 3) es evidente, pues de los 2 m géneros posibles, la mitad de ellos
tendrían un número impar de caracteres negativos, luego según 2) no se dan.
Vamos a probar que 3) implica la ley de reciprocidad cuadrática.
1. Si p es un primo p ≡−1 (mód 4) entonces (−1/p) =−1.
Consideremos K = Q (√ −1 ) , D = −4, m = 1. Entonces hay un solo
género, el principal. Si fuera (−1/p) =(−4/p) = 1, entonces p se descompone
como producto de dos primos de norma p. Sip es uno de estos
primos,
χ 2 (p) =(p, −4) 2 =(p, −1) 2 = −1,
con lo que el género de p no sería el principal, contradicción.
2. Si p es un primo p ≡ 1 (mód 4) entonces (−1/p) =1.
Consideramos K = Q ( √ )
p , D = p, m =1,g = 1.
( Como
) el único género
es el principal, aplicando 9.9 tenemos que 1 = χ p −1 =(−1/p).
Las afirmaciones 1) y 2) prueban la primera ley suplementaria.
3. Si p es un primo p ≡ 1 (mód 8) entonces (2/p) =1.
Consideramos K = Q ( √ ) ( √ )
p , D = p, m =1,g = 1. Entonces 1+ p /2
tiene norma par, pero no es divisible entre 2, lo que prueba que 2 se
descompone en producto de dos primos de norma 2. Si q es uno de estos
primos, 1 = χ p (q) =(2,p) p =(2/p).
4. Si p es un primo p ≡ 3, 5(mód 8) entonces (2/p) =−1.
Tomamos K = Q (√ 2 ) , D =8,m =1,g =1. Si(2/p) = 1 entonces p
se descompone en dos factores de norma p. Si p es uno de estos factores
1=χ 2 (p) =(p, 8) 2 =(p, 2) 2 = −1, contradicción.
5. Si p ≡ 7 (mód 8) entonces (−2/p) =−1.
TomamosK = Q (√ −2 ) , D = −8, m =1,g = 1 y razonamos igual que en
el caso anterior.
6. Si p ≡ 7 (mód 8) entonces por 1) y 5)
(2/p) =(−1/p)(−2/p) =(−1)(−1) = 1.
Las afirmaciones 3), 4) y 6) prueban la segunda ley suplementaria.
7. Si p y q son primos impares p ≡ 1(mód 4) y (q/p) =−1, entonces también
(p/q) =−1.
Tomamos K = Q ( √ )
p , D = p, m =1,g =1. Si(p/q) = 1, entonces q
se escinde en dos primos de norma q. Si q es uno de ellos, 1 = χ p (q) =
(q, p) p =(q/p).