Teoria Numeros C Ivorra Castillo

162 Capítulo 7. Números p-ádicos
2) ⇒ 3) Para todo natural n se cumple
|α + β| n =
∣
n∑
k=0
( n
k)
α k β n−k ∣ ∣∣ ≤
n ∑
k=0
≤ (n +1)máx { |α|, |β| } n
.
|α| k |β| n−k
Tomando raíces n-simas queda |a + b| ≤ n√ n +1máx { |α|, |β| } , y tomando
el límite en n obtenemos la desigualdad buscada.
3) ⇒ 2) es inmediato por inducción.
3) ⇒ 4) Sólo hay que probar que | | ρ cumple la desigualdad triangular, pero
es fácil ver que si | | cumple 3) entonces | | ρ también cumple 3), así como que
3) implica la desigualdad triangular.
4) ⇒ 3) Para cada ρ>0, aplicando la desigualdad triangular de | | ρ tenemos
|α + β| = ( |α + β| ρ) 1/ρ
≤
(
|α| ρ + |β| ρ) 1/ρ
≤ 2 1/ρ máx { |α|, |β| } ,
y haciendo tender ρ a infinito obtenemos la desigualdad de 3).
La propiedad 2) del teorema anterior implica, entre otras cosas, que el
carácter arquimediano de un valor absoluto en un cuerpo K sólo depende de su
comportamiento sobre el cuerpo primo de K. En particular todo subcuerpo de
un cuerpo (no) arquimediano es (no) arquimediano. Por otra parte, la propiedad
3) — la desigualdad triangular fuerte — es la que confiere a los cuerpos no
arquimedianos sus propiedades más características, como pronto veremos.
Ejercicio: Probar que todo valor absoluto en un cuerpo de característica prima es no
arquimediano.
Ejercicio: Probar que si K es un cuerpo no arquimediano y α, β ∈ K, |α| ̸= |β|
entonces |α + β| =máx { |α|, |β| } .
Compleciones De acuerdo con la topología general, una sucesión (α n )enun
cuerpo métrico es de Cauchy si para todo número real ɛ>0 existe un número
natural r tal que si m, n ≥ r entonces |α m − α n |