Teoria Numeros C Ivorra Castillo

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22 Capítulo 2. Cuerpos numéricos y después calcular (x−2−α 2 1)(x−2−α 2 2)(x−2−α 2 3)=x 3 +2, 00001x 2 −4x−9, 00003−2, 1684·10 −19 i. Evidentemente el polinomio buscado es pol mín(2 + α 2 )=x 3 +2x 2 − 4x − 9. Podríamos haber llegado al mismo resultado mediante un cálculo algebraico exacto, pero si disponemos de un ordenador esta técnica resulta mucho más rápida y eficiente. Se puede emplear igual para calcular normas, trazas, etc. 2.2 Discriminantes Completamos los requisitos algebraicos de nuestra teoría estudiando los discriminantes de bases de cuerpos numéricos. En general, si K es un cuerpo numérico, la traza Tr : K −→ Q determina una forma bilineal simétrica K × K −→ Q (α, β) ↦→ Tr(αβ) Dada una base {β 1 ,...,β n } de K, la matriz de la forma en esta base es A = ( Tr(β i β j ) ) . Si llamamos σ 1 ,...,σ n a los monomorfismos de K, es decir, los monomorfismos σ : K −→ C, esta matriz puede descomponerse como producto A = ( σ k (β i ) ) ik( σk (β j ) ) kj . Definición 2.6 Llamaremos discriminante de una base B = {β 1 ,...,β n } de un cuerpo numérico K al número ∆[B] =∆[β 1 ,...,β n ] = det ( Tr(β i β j ) ) = ( det ( σ i (β j ) )) 2 . Notar que el cuadrado hace que el valor del discriminante no dependa del orden de los elementos de la base o del de los monomorfismos. En particular, si ζ es un elemento primitivo de K, las potencias 1,ζ,...,ζ n−1 forman una base de K. Por brevedad escribiremos ∆[ζ] = ∆[1,ζ,...,ζ n−1 ]. Los discriminantes constituyen una herramienta muy poderosa para trabajar con cuerpos numéricos. El teorema siguiente recoge sus propiedades más importantes. Teorema 2.7 Sean B y C dos bases de un cuerpo numérico K. 1. ∆[B] ∈ Q y ∆[B] ≠0. 2. Si DB C es la matriz cuyas filas son las coordenadas de los elementos de B respecto de la base C, entonces ∆[B] =|DB C|2 ∆[C]. 3. Si los elementos de B son enteros, ∆[B] ∈ Z y ∆[B] ≡ 0, 1 (mód 4).
2.2. Discriminantes 23 Demostración: La propiedad 2) es un hecho general sobre formas bilineales. Es obvio que los discriminantes son números racionales. Para probar que son no nulos basta verlo para una base en particular (con esto probamos que la forma bilineal determinada por la traza es regular). Consideremos concretamente {1,ζ,...,ζ n−1 }, donde ζ es un elemento primitivo de K. Para esta base el determinante que aparece es un determinante de Vandermonde ∆[ζ] = det ( σ i (ζ j−1 ) ) 2 = det(σi (ζ) j−1 ) 2 = ∏ ( σj (ζ) − σ i (ζ) ) 2 , 1≤i
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