Teoria Numeros C Ivorra Castillo

12.2. Sumas de Gauss y la ley de reciprocidad 303
Como ya hemos advertido, esta técnica es demasiado moderna, pero Gauss
encontró un argumento intermedio que proporciona una prueba ligeramente
más larga, pero que da cuenta del caso general, al contrario de lo que ocurre
con el argumento de Euler. No es difícil imaginar de qué se trata: en lugar de
considerar una raíz octava de la unidad en un cuerpo de característica p, Gauss
tomó una raíz octava de la unidad en C y consideró congruencias módulo p. Sea
ω = cos(2π/8) + i sen(2π/8) =
√
2
2 + √
2
2 i.
Entonces es claro que γ = ω + ω −1 = √ 2, y en particular γ 2 = 2. Conviene
observar que aunque la prueba de γ 2 = 2 es ahora inmediata, podríamos haber
obtenido esto mismo por medios puramente algebraicos sin más que repetir el
argumento anterior (esto indica que no se trata de una mera casualidad y hace
plausible que el argumento pueda ser generalizado).
Ahora tomamos congruencias en Z[ω] y usamos el teorema 12.3:
( 2
γ p−1 =(γ 2 ) (p−1)/2 =2 (p−1)/2 ≡ (mód p).
p)
De aquí que γ p ≡ (2/p)γ (mód p). Como el cociente módulo p es un anillo
de característica p tenemos que γ p =(ω+ω −1 ) p ≡ ω p +ω −p (mód p) y podemos
concluir como antes que
( 2
(−1) (p2−1)/8 γ ≡ γ (mód p).
p)
Multiplicamos por γ ambos miembros y queda
( 2
(−1) (p2−1)/8 2 ≡ 2 (mód p),
p)
luego (−1) (p2 −1)/8 ≡ (2/p) (mód p),yasí(−1) (p2 −1)/8 =(2/p).
La clave de la prueba ha sido la fórmula (γ + γ −1 ) 2 = 2. Gauss se planteó
el encontrar relaciones similares para primos impares con las que obtener una
prueba más simple de la ley de reciprocidad cuadrática en toda su generalidad.
Así es como llegó a las sumas de Gauss y, más exactamente, al siguiente caso
particular:
Definición 12.4 Sea p un primo impar.
Gauss módulo p a las sumas
donde ω = cos 2π/p + i sen 2π/p.
∑p−1
( r
G a (p) = ω
p)
ar ,
r=1
Llamaremos sumas cuadráticas de