Teoria Numeros C Ivorra Castillo

318 Capítulo 13. Cuerpos ciclotómicos
Notemos que la función f(k) =(g k − g m+k )ζ k depende sólo del resto de k
módulo m, pues
f(k + m) =(g k+m − g 2m+k )ζ k+m =(g k+m − g k )(−1)ζ k = f(k).
Por consiguiente la fórmula (13.1) se escribe equivale a
∣ 1 ∣∣∣∣ m−1
∏ ∑
h 1 =
(2p) m−1 f(k)ψ r (k)
∣ .
r=0 k∈G
Aplicando el teorema 13.1 (y la observación posterior)
1 ∣
h 1 =
(2p) m−1 det ( (g s+t − g m+s+t )ζ s+t)∣ ∣,
donde s, yt varían entre 0 y m − 1. Más aún, el determinante que aparece en
la fórmula anterior es, por definición,
∑
m−1
∏
sig σ (g s+σ(s) − g m+s+σ(s) )ζ s+σ(s) .
σ∈Σ m s=0
Al agrupar las potencias de ζ de cada factor obtenemos ζ elevado al exponente
2(1 + 2 + ···m − 1) = m(m − 1), es decir, (−1) m−1 . Este signo sale factor
común de todos los sumandos y se cancela con el valor absoluto que rodea al
determinante. En definitiva hemos probado lo siguiente:
Teorema 13.2 El primer factor del número de clases viene dado por la fórmula
1 ∣
h 1 = ∣det(gs+t
(2p) m−1 − g m+s+t ) ∣ ,
donde s y t varían entre 0 y m − 1, yg n es el menor resto positivo módulo p
de g n .
Esta expresión involucra sólo números enteros y no presenta por tanto ningún
problema para su cálculo efectivo. Por ejemplo, si p = 23 una raíz primitiva es
g = 5. Hemos de calcular
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 1617 18 192021
g n 1 5 2 10 4 20 8 17 16 11 9 22 18 21 13 19 3 15 6 7 12 14
g n − g 11+n −21 −13 −19 −3 −15 17 −7 11 9−1 −5 211319 315−17 7 −11 −9 1 5
y de aquí
∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −21 −13 −19 −3 −15 17 −7 11 9 −1 −5
−13 −19 −3 −15 17 −7 11 9 −1 −5 21
−19 −3 −15 17 −7 11 9 −1 −5 21 13
−3 −15 17 −7 11 9 −1 −5 21 13 19
−15 17 −7 11 9 −1 −5 21 13 19 3
h 1 = 1
17 −7 11 9 −1 −5 21 13 19 3 15
46 10 −7 11 9 −1 −5 21 13 19 3 15 −17
11 9 −1 −5 21 13 19 3 15 −17 7
9 −1 −5 21 13 19 3 15 −17 7 −11
−1 −5 21 13 19 3 15 −17 7 −11 −9
−5 21 13 19 3 15 −17 7 −11 −9 1
21 13 19 3 15 −17 7 −11 −9 1 5∣