Teoria Numeros C Ivorra Castillo

96 Capítulo 4. Métodos geométricos
y, para cada uno de ellos, sólo hay un número finito de módulos M ′ tales que
O ⊂ M ′ y |M ′ : O| = t, pues estos módulos cumplen que M ′ /O es un grupo finito
de orden t, con lo que tM ′ ⊂ O, y en consecuencia O ⊂ M ′ ⊂ t −1 O. Ahora bien,
los módulos intermedios entre O y t −1 O están en correspondencia biunívoca con
los subgrupos del grupo cociente, que es finito porque ambos módulos son libres
del mismo rango.
En conclusión, hay un número finito de tales módulos M ′ .
4.5 La representación logarítmica
En esta sección obtendremos la estructura del grupo de unidades de un orden
numérico arbitrario. Este grupo es multiplicativo, mientras que el teorema de
Minkowski se aplica a retículos, que son grupos aditivos. Para relacionar unos
con otros usaremos logaritmos.
Definición 4.20 Recordemos que R st = R s × C t . Llamaremos representación
logarítmica de R st a la aplicación l cuyo dominio lo forman los vectores x de R st
cuyas componentes son todas no nulas (o sea, tales que N(x) ≠ 0) y dado por
l(x) = ( l 1 (x),...,l s+t (x) ) , donde
{
log |xk | para k =1,...,s,
l k (x) =
log |x k | 2 para k = s +1,...,s+ t.
Es inmediato que si N(x) ≠0≠ N(y), entonces l(xy) =l(x)+l(y). También
es obvio por la definición de norma en R st que
log ∣ ∣ N(x)
∣ ∣ = l1 (x)+···+ l s+t (x). (4.3)
Si K es un cuerpo numérico llamaremos representación logarítmica de K
a la aplicación l : K \{0} −→R s+t dada por l(α) =l ( x(α) ) , donde x es la
representación geométrica de K.
Así pues,
l(α) = ( log |σ 1 (α)|,...,log |σ s (α)|, log |σ s+1 (α)| 2 ,...,log |σ s+t (α)| 2 ).
El vector l(α) se llama representación logarítmica del número α. El espacio
R s+t se llama espacio logarítmico de K.
Es claro que si α y β son números no nulos, entonces l(αβ) =l(α) +l(β).
De aquí se sigue que l(α −1 )=−l(α).
Por otro lado
log ∣ ∣ N(α) ∣
= log∣N(x ( α) )∣ ∣ = l1 (α)+···+ l s+t (α).
Un primer resultado elemental es el siguiente:
Teorema 4.21 Sea K un cuerpo numérico y O un orden cualquiera de K.
Entonces la restricción de la representación logarítmica de K al grupo de las
unidades de O es un homomorfismo de grupos cuyo núcleo está formado por las
raíces de la unidad en O y es un grupo cíclico finito de orden par.