Teoria Numeros C Ivorra Castillo

2.4. Determinación de bases enteras 35
claramente, que el discriminante sea libre de cuadrados, pero esta condición
no es necesaria, como muestran los cuerpos cuadráticos. El teorema siguiente
proporciona un algoritmo para decidir cuál es el caso y obtener explícitamente
una base con discriminante menor cuando ésta exista. Así siempre es posible
hallar el orden de un cuerpo en un número finito de pasos, si bien hay que
advertir que el proceso es demasiado laborioso para llevarlo a la práctica (por
lo menos sin la ayuda de un ordenador) en la mayoría de los casos.
Teorema 2.25 Sea K un cuerpo numérico y M ⊂ O K un módulo completo
con base {α 1 ,...,α n }. Si M ≠ O K , entonces existe un número primo p tal
que p 2 | ∆[M] y existen números naturales 1 ≤ t ≤ n y g 1 ,...,g t−1 tales que
0 ≤ g i ≤ p − 1 de modo que
α ∗ t =(g 1 α 1 + ···+ g t−1 α t−1 + α t )/p ∈ O K ,
ysiα ∗ t es un número cualquiera que cumpla esto, entonces
M ∗ = 〈α 1 ,...,α t−1 ,α ∗ t ,α t+1 ,...,α n 〉 Z
es un módulo que contiene estrictamente a M y ∆[M ∗ ]=∆[M]/p 2 .
Demostración: Sea {β 1 ,...,β n } una base de O K . Sea α i = ∑ n
j=1 m ijβ j ,
con m ij ∈ Z. Sea m = det(m ij ). Entonces ∆[M] =m 2 ∆ K y m ≠ ±1. Sea p un
primo que divida a m.
∑
Claramente existen a 1 ,...,a n ∈ Z no todos nulos (mód p) de manera que
n
i=1 a im ij ≡ 0(mód p). Sea t tal que a t ≢ 0 (mód p) pero a i ≡ 0 (mód p)
para i>t.
Entonces γ = ∑ t
i=1 a iα i = ∑ t ∑ n
i=1 j=1 a im ij β j = ∑ (
n ∑t
)
j=1 i=1 a im ij β j .
Tenemos que p | ∑ n
i=1 a im ij y p | ∑ n
i=t+1 a im ij , luego p | ∑ t
i=1 a im ij ypor
lo tanto γ = pβ para cierto β ∈ O K .
Sea a ∗ ∈ Z tal que a t a ∗ ≡ 1(mód p). Definimos pαt ∗ = a ∗ γ−pγ 0 , donde γ 0 se
elige de modo que el coeficiente de α t se reduzca a1ylosdelosα i a sus mínimos
(mód p), es decir, αt ∗ es de la forma indicada en el enunciado y la matriz de cambio
de base entre {α 1 ,...,α n } y {α 1 ,...,α t−1 ,αt ∗ ,α t+1 ,...,α n } está formada
por una diagonal de unos excepto la fila i-ésima, que es ( g1 gt−1
p
,...,
p , 1 p , 0,...,0).
El determinante es 1/p, luego el discriminante de la segunda base es ∆[M]/p 2 .
La prueba del teorema anterior muestra que en lugar de 0 ≤ g i ≤ p − 1
podemos exigir que los g i varíen en cualquier conjunto de representantes de las
clases módulo p. A veces es cómodo tomarlos, por ejemplo, entre −(p − 1)/2 y
(p − 1)/2.
El ejemplo de Dedekind Como aplicación del teorema anterior veamos un
famoso ejemplo debido a Dedekind (después veremos por qué es famoso). Es
fácil ver que el polinomio x 3 + x 2 − 2x + 8 tiene una única raíz real que no es
entera (racional), y como es mónico concluimos que es irreducible en Q[x]. Sea ξ