Teoria Numeros C Ivorra Castillo

7.2. Cuerpos métricos discretos 167
Teorema 7.12 Sea K un cuerpo métrico discreto. Entonces su anillo de enteros
D es un dominio de factorización única. Sus primos son exactamente los
elementos π que cumplen v(π) =1. Todos son asociados, por lo que p es el único
ideal primo de D, y está generado por cualquiera de ellos. Fijado un primo π,
todo elemento no nulo de K se expresa de forma única como α = ɛπ n , donde
ɛ ∈ U y, necesariamente, n = v(α). En particular K es el cuerpo de cocientes
de D.
En realidad el anillo de enteros de un cuerpo discreto es mucho más que un
dominio de factorización única. Es trivialmente un dominio euclídeo, tomando
como norma la propia valoración. Efectivamente, se cumple que v(α) ≤ v(αβ),
para α y β no nulos, y dados ∆,δ ∈ D con δ ≠ 0, la división euclídea es
simplemente ∆ = δ · 0+∆ si v(∆)