Teoria Numeros C Ivorra Castillo

94 Capítulo 4. Métodos geométricos
Evidentemente se trata de un epimorfismo de grupos. Esto prueba ya la
finitud del grupo de clases. Vamos a calcular el núcleo. Si [ (α) ] = 1 entonces
(α) ∈ Pf ∗(O′ ), lo que significa que (α) =(β), donde β ∈ P f (O ′ ). A su vez esto
implica que α = ɛβ, para cierta unidad ɛ de O. Recíprocamente, es claro que si
α es de esta forma entonces (α) está enelnúcleo.
Llamemos E al grupo de unidades de O y E al subgrupo de U formado por
las clases con un representante en E. Similarmente, sea P f (O ′ ) el grupo de las
clases de U con representantes en P f (O ′ ). Hemos probado que el núcleo del
epimorfismo que estamos estudiando es E P f (O ′ ), de donde
|Pf ∗ (O) :Pf ∗ (O ′ Φ(f)
)| =
∣ E Pf (O ′ ) ∣ .
Claramente, ∣ ∣E Pf (O ′ ) ∣ ∣ = ∣ ∣E : E ∩ P f (O ′ ) ∣ ∣ ∣ ∣P f (O ′ ) ∣ ∣.
Si llamamos E ′ al grupo de las unidades de O ′ ,esfácil comprobar el isomorfismo
E/E ′ ∼ = E /( E ∩ P f (O ′ ) ) . Finalmente, si llamamos U ′ al grupo de
las unidades de O ′ /f, también se ve fácilmente que U ′ ∼ = P f (O ′ ). El teorema es
ahora inmediato.
Para el caso de órdenes cuadráticos la fórmula admite una ligera simplificación:
Teorema 4.18 Sea O m el orden de índice m en un cuerpo cuadrático K. Sea
h el número de clases de K y h m el número de clases de O m . Entonces
h m =
Φ(m) h,
φ(m)e m
donde Φ es la función de Euler generalizada, φ es la función de Euler usual y
e m es el índice del grupo de las unidades de O m en el grupo de las unidades de
K.
Demostración: Sólo hay que recordar que el conductor de O m es (m) y
notar que O m /(m) ∼ = Z/mZ.
Ejemplo Consideremos el orden Z [√ −3 ] ,deíndice 2 en el orden maximal de
Q (√ −3 ) .Esfácil ver que el número de clases de este cuerpo es 1, así como que
su grupo de unidades consta exactamente de las 6 raíces sextas de la unidad (en
la sección siguiente obtendremos este hecho como consecuencia de resultados
generales), mientras que el grupo de unidades de Z [√ −3 ] consta sólo de {±1}.
Por consiguiente, y según la notación del teorema anterior, e =3.
Por otra parte, el 2 se conserva primo en Q (√ −3 ) , luego Φ(2) = N(2)−1 =3.
En total concluimos que el número de clases de Z [√ −3 ] es h 2 = 1. Como ya
sabemos, esto no significa que el anillo tenga factorización única. Un ejemplo
de factorización no única es el siguiente:
2 · 2= ( 1+ √ −3 )( 1 − √ −3 ) . (4.1)