Teoria Numeros C Ivorra Castillo

234 Capítulo 9. La teoría de los géneros
de O m en el grupo de las unidades del orden maximal. Entonces
h m = m ∏
(
1 − χ )
K(p)
h.
e m
p
p|m
Demostración: Por las propiedades de la función de Euler generalizada,
Φ(m) = ∏ p|m
Φ(p kp ),
donde k p es el exponente de p en m.
Si χ K (p) = 1 entonces p = p 1 p 2 , con N(p 1 )=N(p 2 )=p, luego
Φ(p kp )=Φ(p kp
1 )Φ(pkp 2 )=( p kp−1 (p − 1) ) 2
.
Si χ K (p) = 0 entonces p = p 2 , con N(p) =p.
Φ(p kp )=Φ(p 2kp )=p 2kp−1 (p − 1).
Si χ(p) =−1 entonces N(p) =p 2 yΦ(p kp )=p 2kp−2 (p 2 − 1).
Es fácil comprobar que los tres casos se reúnen en la fórmula
(
Φ(p kp )=p 2kp−1 (p − 1) − p 2kp−2 (p − 1)χ K (p) =φ(p kp )p kp 1 − χ )
K(p)
.
p
Multiplicando sobre p obtenemos Φ(m) =mφ(m) ∏ (
p|m
1 − χ K(p)
p
)
. Sustituyendo
en la fórmula del teorema 4.18 obtenemos la expresión buscada.
Ejercicio: Usar la fórmula del teorema anterior para calcular el número de clases del
orden O 3 de Q (√ −2 ) .
9.5 Representaciones por formas cuadráticas
Hemos iniciado el capítulo explicando que nuestra intención al estudiar los
géneros era buscar condiciones suficientes para que un entero esté representado
por una forma cuadrática, pero pronto nos hemos desviado hacia consideraciones
teóricas sobre los géneros. Ahora estudiaremos la parte práctica. Como punto
de partida, consideremos el teorema 6.14, según el cual una forma representa
un número natural m si y sólo si la clase inversa de su clase de ideales asociada
contiene un ideal de norma m. Usando la factorización única es fácil determinar
si existen o no ideales con una norma dada. El problema es decidir a qué clase
pertenecen si existen. Si eliminamos esa parte de la conclusión obtenemos este
enunciado más débil: si O es un orden cuadrático de discriminante D, unnúmero
natural m está representado por alguna forma cuadrática de discriminante D si
ysólo si O tiene ideales de norma m. Ahora reformulamos la condición sobre la
existencia de ideales.