Teoria Numeros C Ivorra Castillo

290 Capítulo 11. La función dseta de Dedekind
Si hacemos variar C en U m tenemos
log L(s, χ) = ∑ χ(C) ∑ 1
+ R(s, χ).
ps C p∈C
Podemos ver estas ecuaciones como un sistema de φ(m) ecuaciones lineales
en el que las incógnitas son las series sobre los primos de las clases de U m .
Vamos a despejar una de ellas, digamos la correspondiente a la clase A, para lo
cual multiplicamos por χ(A −1 ) y sumamos todas las ecuaciones:
∑
χ(A −1 ) log L(s, χ) = ∑ (∑ ) ∑
χ(CA −1 1
)
p s + R A(s),
χ
C χ
p∈C
donde
|R A (s)| = ∣ ∑ χ(A −1 R(s, χ) ∣ ≤ ∑ |R(s, χ)| ≤φ(m), para todo s>1.
χ
χ
Por las relaciones de ortogonalidad de los caracteres la ecuación se reduce a
∑
χ(A −1 ) log L(s, χ) =φ(m) ∑ 1
p s + R A(s). (11.16)
χ
p∈A
Ahora tomaremos límites cuando s → 1 + . Debemos detenernos en el comportamiento
de log L(s, χ). Puesto que L(1,χ) (para χ no principal) es un
número complejo no nulo, es conocido que en un entorno de L(1,χ) existe
una determinación continua del logaritmo. Componiéndola con L(s, χ) obtenemos
una función continua log ′ L(s, χ) definida en un entorno de 1, digamos
]1 − ɛ, 1+ɛ[. La función log L(s, χ) − log ′ L(s, χ) es continua en el intervalo
]1, 1+ɛ[ ysólo puede tomar los valores 2kπi, para k entero, luego por conexión
k ha de ser constante en ]1, 1+ɛ[ y consecuentemente existe
lím log L(s, χ) =
s→1 log′ L(1,χ)+2kπi.
+
Agrupamos todos los sumandos acotados en (11.16) junto con R A (s) y queda
log L(s, 1) = φ(m) ∑ 1
p s + T A(s),
p∈A
donde T A (s) es una función acotada en un entorno de 1.
Por otro lado L(s, 1) tiende a infinito cuando s tiende a 1, luego lo mismo
le ocurre a log L(s, 1). Esto implica que la función ∑ no está acotada en
un entorno de 1, lo que sólo es posible si tiene infinitos sumandos. Más aún, es
claro que esto sólo es posible si
∑ 1
p =+∞.
p∈A
Como A es una clase cualquiera de U m , digamos A = {km + n | k ∈ Z} con
(m, n) = 1, esto prueba el teorema.
p∈A
1
p s