Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo VIII
El teorema de
Hasse-Minkowski
En este capítulo probaremos el teorema de Hasse-Minkowski, en el cual se
basará el tratamiento que daremos en el capítulo siguiente a la teoría de Gauss
sobre géneros de formas cuadráticas. Históricamente, este teorema fue la primera
muestra relevante de la importancia de los números p-ádicos en la teoría
algebraica de números. Para alcanzar nuestro objetivo conviene que expongamos
los hechos básicos sobre formas cuadráticas en un cuerpo arbitrario K.
8.1 Formas cuadráticas
En todo lo que sigue se entenderá que K es un cuerpo, del que tan sólo
supondremos que su característica es distinta de 2.
Definición 8.1 Una forma cuadrática sobre K es un polinomio homogéneo de
grado 2, es decir, una suma de monomios de grado 2.
Por ejemplo: 3x 2 − 2y 2 +6xz − 12xy +5yz es una forma cuadrática sobre Q con
tres variables. En el capítulo VI considerábamos tan sólo formas cuadráticas
binarias sobre el anillo Z. Observar que la forma anterior puede escribirse como
3x 2 − 2y 2 +0z 2 − 6xy − 6yx +3xz +3zx +(5/2)yz +(5/2)zy
⎛
3 −6 3
⎞ ⎛ ⎞
x
=(x, y, z) ⎝ −6 −2 5/2 ⎠ ⎝ y ⎠ ,
3 5/2 0 z
y en general toda forma cuadrática se puede expresar de la forma
f(x 1 ,...,x n )=(x 1 ,...,x n )A(x 1 ,...,x n ) t ,
donde A es una matriz simétrica en K unívocamente determinada por f.
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