Teoria Numeros C Ivorra Castillo

22 Capítulo 2. Cuerpos numéricos
y después calcular
(x−2−α 2 1)(x−2−α 2 2)(x−2−α 2 3)=x 3 +2, 00001x 2 −4x−9, 00003−2, 1684·10 −19 i.
Evidentemente el polinomio buscado es pol mín(2 + α 2 )=x 3 +2x 2 − 4x − 9.
Podríamos haber llegado al mismo resultado mediante un cálculo algebraico
exacto, pero si disponemos de un ordenador esta técnica resulta mucho más
rápida y eficiente. Se puede emplear igual para calcular normas, trazas, etc.
2.2 Discriminantes
Completamos los requisitos algebraicos de nuestra teoría estudiando los discriminantes
de bases de cuerpos numéricos. En general, si K es un cuerpo
numérico, la traza Tr : K −→ Q determina una forma bilineal simétrica
K × K −→ Q
(α, β) ↦→ Tr(αβ)
Dada una base {β 1 ,...,β n } de K, la matriz de la forma en esta base es
A = ( Tr(β i β j ) ) . Si llamamos σ 1 ,...,σ n a los monomorfismos de K, es decir, los
monomorfismos σ : K −→ C, esta matriz puede descomponerse como producto
A = ( σ k (β i ) ) ik(
σk (β j ) ) kj .
Definición 2.6 Llamaremos discriminante de una base B = {β 1 ,...,β n } de
un cuerpo numérico K al número
∆[B] =∆[β 1 ,...,β n ] = det ( Tr(β i β j ) ) =
(
det ( σ i (β j ) )) 2
.
Notar que el cuadrado hace que el valor del discriminante no dependa del orden
de los elementos de la base o del de los monomorfismos.
En particular, si ζ es un elemento primitivo de K, las potencias 1,ζ,...,ζ n−1
forman una base de K. Por brevedad escribiremos ∆[ζ] = ∆[1,ζ,...,ζ n−1 ].
Los discriminantes constituyen una herramienta muy poderosa para trabajar
con cuerpos numéricos. El teorema siguiente recoge sus propiedades más
importantes.
Teorema 2.7 Sean B y C dos bases de un cuerpo numérico K.
1. ∆[B] ∈ Q y ∆[B] ≠0.
2. Si DB C es la matriz cuyas filas son las coordenadas de los elementos de B
respecto de la base C, entonces ∆[B] =|DB C|2 ∆[C].
3. Si los elementos de B son enteros, ∆[B] ∈ Z y ∆[B] ≡ 0, 1 (mód 4).