Teoria Numeros C Ivorra Castillo

358 Capítulo 14. Números trascendentes
Por el teorema anterior este sistema de ecuaciones tiene una solución entera no
trivial tal que
|x lr |≤E ( (hqc ′′ A) p/(q−p)) ≤ 1+(hqc ′′ A) p/(q−p) , 1 ≤ l ≤ q, 1 ≤ r ≤ h.
Los (ξ 1 ,...,ξ q ) con estas coordenadas son enteros de K no todos nulos que
cumplen el sistema de ecuaciones y además
|ξ l | ≤ |x l1 | |β 1 | + ···+ |x lh | |β h |≤ máx i|(|x l1 | + ···+ |x lh |)
1≤i≤h
≤ hc ′′ (1 + (hqc ′′ A) p/(q−p) )=c(1 + (cqA) p/(q−p) ).
Teorema 14.6 (Gelfond-Schneider) Si α y β son números algebraicos tales
que α ≠0, 1 y β es irracional, entonces el número α β es trascendente.
Demostración: Fijemos un valor para log α y supongamos que γ = e β log α
es algebraico. Sea K un cuerpo numérico de grado h que contenga a α, β y γ.
Sean m =2h +2yn = q 2 /(2m), donde t = q 2 es un múltiplo de 2m.
Observar que podemos tomar valores para n arbitrariamente grandes en estas
condiciones. En lo sucesivo las letras c, c 1 , c 2 , ... representarán constantes que
dependerán de K, de una base entera de K prefijada y de α, β, γ, pero nunca
de n.
Sean ρ 1 ,...,ρ t los números (a+bβ) log α, con 1 ≤ a ≤ q, 1≤ b ≤ q. Observar
que como β es irracional, los números 1 y β son linealmente independientes,
luego los números ρ 1 ,...,ρ t son distintos dos a dos.
Sean η 1 ,...,η t números complejos en K arbitrarios. Consideremos la función
holomorfa en C dada por R(z) =η 1 e ρ1z + ···+ η t e ρtz . Consideremos las mn
ecuaciones lineales con t =2mn incógnitas (η 1 ,...,η t )
(log α) −k R k) (l) =0, 0 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ l ≤ m.
Los coeficientes de la ecuación (k, l) son los números
(log α) −k ρ k i e ρil = (log α) −k( (a + bβ) log α) k e l(a+bβ)logα =(a + bβ) k α al γ bl ∈ K,
con 1 ≤ l ≤ m, 1≤ a, b ≤ q, 0≤ k ≤ n − 1.
Sea c 1 un número natural no nulo tal que c 1 α, c 1 β y c 1 γ sean enteros en K.
En cada coeficiente, al desarrollar el binomio (a + bβ) k aparecen monomios de
α, β y γ con grado a lo sumo
k + al + bl ≤ n − 1+mq + mq ≤ n +4m 2 n =(4m 2 +1)n,
luego si multiplicamos cualquiera de los coeficientes por c 4(m2 +1)n
1 = c n 2 obtenemos
un entero de K.