Teoria Numeros C Ivorra Castillo

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162 Capítulo 7. Números p-ádicos 2) ⇒ 3) Para todo natural n se cumple |α + β| n = ∣ n∑ k=0 ( n k) α k β n−k ∣ ∣∣ ≤ n ∑ k=0 ≤ (n +1)máx { |α|, |β| } n . |α| k |β| n−k Tomando raíces n-simas queda |a + b| ≤ n√ n +1máx { |α|, |β| } , y tomando el límite en n obtenemos la desigualdad buscada. 3) ⇒ 2) es inmediato por inducción. 3) ⇒ 4) Sólo hay que probar que | | ρ cumple la desigualdad triangular, pero es fácil ver que si | | cumple 3) entonces | | ρ también cumple 3), así como que 3) implica la desigualdad triangular. 4) ⇒ 3) Para cada ρ>0, aplicando la desigualdad triangular de | | ρ tenemos |α + β| = ( |α + β| ρ) 1/ρ ≤ ( |α| ρ + |β| ρ) 1/ρ ≤ 2 1/ρ máx { |α|, |β| } , y haciendo tender ρ a infinito obtenemos la desigualdad de 3). La propiedad 2) del teorema anterior implica, entre otras cosas, que el carácter arquimediano de un valor absoluto en un cuerpo K sólo depende de su comportamiento sobre el cuerpo primo de K. En particular todo subcuerpo de un cuerpo (no) arquimediano es (no) arquimediano. Por otra parte, la propiedad 3) — la desigualdad triangular fuerte — es la que confiere a los cuerpos no arquimedianos sus propiedades más características, como pronto veremos. Ejercicio: Probar que todo valor absoluto en un cuerpo de característica prima es no arquimediano. Ejercicio: Probar que si K es un cuerpo no arquimediano y α, β ∈ K, |α| ̸= |β| entonces |α + β| =máx { |α|, |β| } . Compleciones De acuerdo con la topología general, una sucesión (α n )enun cuerpo métrico es de Cauchy si para todo número real ɛ>0 existe un número natural r tal que si m, n ≥ r entonces |α m − α n |
7.1. Valores absolutos 163 Demostración: Supongamos que la sucesión cumple esta propiedad y sea ɛ > 0. Por definición de límite existe un r > 0 tal que si n ≥ r entonces |α n − α n−1 |
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Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE N
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Índice General Prefacio ix Capítu
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ÍNDICE GENERAL vii 11.7 Enteros ci
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Capítulo I Introducción a la teor
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1.2. El Último Teorema de Fermat 3
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Capítulo II Cuerpos numéricos El
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2.1. Enteros algebraicos 21 Teorema
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13.5. Numeros p-ádicos ciclotómic
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