Teoria Numeros C Ivorra Castillo

9.6. Grupos de clases y unidades 243
χ p (−1) = 1 para todos los caracteres. En ambos casos la similitud estricta coincide
con la no estricta. Los cuerpos reales con unidad fundamental de norma
positiva son de tipo III o de tipo IV según si ∆ K es divisible o no entre un primo
p ≡−1(mód 4) o, equivalentemente, si χ p (−1) = −1 para algún primo p. La
razón de esta distinción es que de ella depende que el grupo de clases no estrictas
H se pueda representar como factor directo del grupo de clases estrictas H ′ ,en
el sentido preciso indicado en el teorema siguiente.
Teorema 9.35 Sea K un cuerpo cuadrático de tipo III. Entonces existe un
subgrupo H del grupo de clases estrictas H ′ de K, de modo que la aplicación
[x] ↦→ [x] es un isomorfismo de H en el grupo de clases no estrictas de K, y
H ′ = H ×{±1}. SiK es de tipo IV no existe tal subgrupo.
Demostración: Sea p un primo tal que χ p (−1) = −1 Como el número
de signos negativos ha de ser par, podemos suponer que p es impar. Sea H
el conjunto de todas las clases x tales que χ p (x) = 1, o sea, el núcleo de χ p .
Claramente H es un subgrupo de índice 2 en H ′ . Basta probar que la aplicación
[x] ↦→ [x] es inyectiva en H, pues ciertamente es un homomorfismo de grupos
y su imagen tiene el mismo número de elementos de H. Si [M], [M ′ ] son dos
clases de H con la misma imagen, es decir, si M y M ′ son similares, entonces
existe un α ∈ K tal que M = αM ′ , luego χ p (M) =χ p
(
(α)
)
χp (M ′ ), lo que
implica que χ p
(
(α)
)
= 1. Por lo tanto
[
(α)
]
≠ −1, es decir, N(α) = 1, luego
M y M ′ son estrictamente similares y [M] =[M ′ ]. Como −1 /∈ H, es claro que
H ′ = H ×{±1}.
Si K es de tipo IV entonces −1 está enelgénero principal, luego el teorema
9.19 nos da que −1 =x 2 para cierta clase x ∈ H ′ . Si H ′ = H ×{±1} para
cualquier subgrupo H (sin más hipótesis) entonces tendríamos que ±x ∈ H para
una elección adecuada del signo, luego −1 =(±x) 2 ∈ H, lo cual es imposible.
Así pues, la extensión H ′ /H no es trivial en los cuerpos de tipo IV. El hecho
de que existan tales cuerpos equivale a decir que el recíproco del teorema 9.34
es falso. Sirvan como ejemplos Q (√ 34 ) (el menor de todos) y Q (√ 221 ) .
Un recíproco parcial al teorema 9.34 es que si ∆ K > 0 es divisible entre un
solo primo, entonces N(ɛ) =−1. En efecto, en tal caso K tiene un solo género,
luego una sola clase ambigua, pero −1 y 1 son ambiguas, luego 1 = −1.
Ejercicio: Si ∆ K es divisible entre un solo primo, entonces h es impar
Ejercicio: Si ∆ K = x 2 + y 2 y cada género contiene un número impar de clases
estrictas, entonces N(ɛ)= 1, es decir, K es de tipo IV.
Una consecuencia obvia de la teoría de géneros es que predice la presencia
de potencias de 2 en el número de clases. No se conoce nada parecido para
otros primos. El menor cuerpo cuadrático imaginario cuyo número de clases
es divisible entre un primo impar al cuadrado es Q (√ −2.299 ) . El grupo de
clases contiene un factor C 3 × C 3 . El menor cuerpo cuadrático real en estas
condiciones es Q (√ 62.501 ) (con idéntico factor). Respecto a la presencia de