Teoria Numeros C Ivorra Castillo

212 Capítulo 9. La teoría de los géneros
r ≡ u 2 − Dv 2 (mód p). Entonces, u 2 − Dv 2 es un resto no cuadrático módulo
p, y si elegimos a éste precisamente como r, tenemos la igualdad r = u 2 − Dv 2 .
El cambio de variables
x = ux ′ + Dvy ′
y = vx ′ + uy ′
transforma la forma de la izquierda de (9.2) en la forma de la derecha, luego
ambas son equivalentes módulo p n y, en definitiva, todas las formas cuadráticas
de discriminante D son equivalentes módulo p n . Para extender a este caso las
conclusiones anteriores definimos el carácter módulo p de una forma f (cuando
p es impar y no divide al discriminante) como χ p (f) = 1. Definimos igualmente
el carácter de una clase de fórmulas.
De este modo sigue siendo cierto que dos formas cuadráticas de discriminante
D son equivalentes módulo p n , con p impar, si y sólo si tienen el mismo carácter
módulo p, lo cual se cumple siempre si p ∤ D.
Nos falta estudiar el caso p = 2. Si una forma cuadrática tiene discriminante
D = b 2 − 4ac, entonces D es impar si y sólo si b lo es, y entonces D ≡ 1 (mód 8)
si y sólo si 2 | ac. Ocupémonos primero del caso impar.
Teorema 9.5 Toda forma cuadrática de discriminante impar D es equivalente
módulo 2 n a una de las dos formas
xy o x 2 + xy + y 2 .
Concretamente, una forma es equivalente a la primera si y sólo si D ≡ 1 (mód 8)
y es equivalente a la segunda en caso contrario.
Demostración: Toda forma con discriminante D ≡ 1 (mód 8) es equivalente
a una forma ax 2 + bxy +2cy 2 con a impar. Con el cambio y ′ = by
podemos hacer b = 1. Por otra parte, si aplicamos a xy el cambio de variables
x = x ′ +2uy, y = ax ′ + vy (con v impar) obtenemos la forma
ax 2 +(v +2au)xy +2uvy 2 .
Para que ésta sea congruente con la dada se han de cumplir las congruencias
v +2au ≡ 1 (mód 2 n ) (9.3)
uv ≡ c (mód 2 n ). (9.4)
Como v es una unidad módulo 2 n , podemos despejar u en (9.4) y sustituirlo en
(9.3). Así obtenemos v +2acv −1 ≡ 1 (mód 2 n ), o equivalentemente:
v(v − 1) ≡−2ac (mód 2 n )
Si demostramos que esta congruencia tiene solución v impar, entonces (9.3) nos
permitirá calcular u, y tendremos probado que xy es equivalente a cualquier