Teoria Numeros C Ivorra Castillo

342 Capítulo 13. Cuerpos ciclotómicos
e integrando llegamos a que
( exp(x) − 1
log
x
)
− x 2 = ∞ ∑
i=1
B 2i
(2i)(2i)! x2i
(notar que la función de la izquierda vale 0 en 0).
Esta igualdad sobre funciones de variable compleja implica esta misma igualdad
cuando el primer término se interpreta como la composición en Q[[x]] de la
serie de la función (exp(x) − 1)/x − 1 con la serie de la función log(1 + x). Por
otra parte, en el cálculo del coeficiente de x k de la composición de dos series, sólo
usamos sus coeficientes de grado menor o igual que k, y si truncamos la exponencial
según (13.12) estamos conservando los coeficientes de (exp(x) − 1)/x − 1
hasta el de grado p − 2, luego
( E(x) − 1
L
x
)
− x 2 = m−1
∑
i=1
B 2i
(2i)(2i)! x2i + x p−1 R(x),
donde R(x) ∈ Q[[x]] tiene coeficientes enteros p-ádicos (pues la composición de
dos polinomios con coeficientes enteros tiene coeficientes enteros).
Ahora llevamos esta expresión a (13.15), que junto con (13.11) nos da
log(θ p−1
k
m−1
∑
) ≡ L(θ p−1
k
) ≡
i=1
B 2i
(2i)(2i)! (1 − k2i )π 2i (mód π p−1 ).
Recordemos que, según hemos razonado al comienzo de la sección, esto implica
que los coeficientes b ki que aparecen en (13.10) han de cumplir
luego
b ki ≡
Observemos que
B 2i
(2i)(2i)! (1 − k2i ) (mód p), 2 ≤ k ≤ m, 1 ≤ i ≤ m − 1,
det(b ki ) ≡
m−1
∏
i=1
det(k 2i − 1) =
∣
(−1) m−1 B 2i
(2i)(2i)!
det(k 2i − 1) (mód p).
∣
1 1 1 ··· 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 2 2 4 ··· 2 p−3
1 3 2 3 4 ··· 3 p−3
.
.
.
.
1 m 2 m 4 ··· m p−3
(restando la primera columna a todas las demás y desarrollando por la primera
fila se obtiene el determinante de la izquierda).
El determinante de la derecha es de Vandermonde, por lo que en definitiva
det(b ki ) ≡
m−1
∏
i=1
(−1) m−1 B 2i
(2i)(2i)!
∏
1≤r