Teoria Numeros C Ivorra Castillo

214 Capítulo 9. La teoría de los géneros
a que el índice del subgrupo de los cuadrados en U 2 n no es 2, sino 4. En
efecto, dado un entero impar a, del teorema 8.12 se sigue que a se expresa como
a = rɛ 2 , donde r = ±1, ±5 yɛ es una unidad diádica. Tomando restos módulo
2 n obtenemos que a ≡ rk 2 (mód 2 n ) para cierto entero impar k.
Teniendo esto en cuenta, procedemos como en el caso de los primos impares.
Dada una forma cuadrática ax 2 +2bxy+cy 2 , pasando a otra equivalente podemos
suponer que a es impar. El cambio x = x ′ − by, y = ay ′ la transforma en
a(x 2 − D ′ y 2 ), donde D ′ = D/4. Por último, expresando a ≡ rk 2 (mód 2 n )y
haciendo el cambio x ′ = kx, y ′ = ky llegamos a una forma equivalente a una de
las cuatro formas
r(x 2 − D ′ y 2 ), r = ±1, ±5. (9.6)
Ahora vamos a ver que si x 2 − D ′ y 2 representa r módulo 8, entonces es
equivalente con la correspondiente forma de (9.6) módulo 2 n . En efecto, suponemos
que existen enteros u, v tales que A = u 2 − D ′ v 2 ≡ r (mód 8). El cambio
x = ux ′ +D ′ vy ′ , y = vx ′ +uy ′ nos transforma x 2 −D ′ y 2 en A(x 2 −D ′ y 2 ). Ahora
expresamos A ≡ r ′ k 2 (mód 2 n ), donde r ′ = ±1, ±5, y al tomar restos módulo 8
queda que r ′ = r, con lo que el cambio x ′ = kx, y ′ = ky nos lleva a una forma
equivalente a (9.6) para el r considerado.
En vista de esto estudiamos los impares representados módulo 8 por la forma
x 2 − D ′ y 2 . Son los indicados en la tabla siguiente, en función del resto de D ′
módulo 8:
D ′ 0 1 2 3 4 5 6 7
r 1 ±1 ±1 1 1 ±1 1 1
±5 5 5 ±5 −5 5
La tabla se interpreta como sigue:
• Si D/4 ≡ 1, 5 (mód 8) entonces x 2 − D ′ y 2 representa todos los impares
módulo 8, luego es equivalente a todas las formas (9.6) y así, todas las
formas de discriminante D son equivalentes módulo 2 n .
• Si D/4 ≡ 3, 4, 7 (mód 8) entonces las formas x 2 − D ′ y 2 y5(x 2 − D ′ y 2 ) son
equivalentes, de donde se sigue que −(x 2 −D ′ y 2 )y−5(x 2 −D ′ y 2 ) también
lo son. Por lo tanto toda forma de discriminante D es equivalente a
±(x 2 −D ′ y 2 ), y estas dos no son equivalentes entre sí, pues una representa
sólo los impares congruentes con 1, 5módulo 8, y obviamente, la otra sólo
representa los congruentes con −1, −5 módulo 8.
• Si D/4 ≡ 2(mód 8) tenemos que ±(x 2 − D ′ y 2 ) son equivalentes, y por lo
tanto ±5(x 2 − D ′ y 2 ) también lo son. Toda forma de discriminante D es
equivalente a x 2 − D ′ y 2 si los impares que representa son congruentes con
±1 módulo 8yesequivalente a 5(x 2 − D ′ y 2 ) si los impares que representa
son congruentes con ±5 (mód 8).
• Si D/4 ≡ 6 (mód 8) llegamos a una conclusión similar.