Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo VI
Cuerpos cuadráticos
En los cuerpos cuadráticos, toda la sutileza de la teoría algebraica de números
se muestra de la forma más simple posible. Esto los convierte en los modelos
idóneos para formular conjeturas y obtener primeras pruebas. Ciertamente, los
resultados más importantes de la teoría algebraica de números han seguido este
proceso: primero fueron probados para cuerpos cuadráticos y sólo en una segunda
etapa fueron generalizados. Este proceso de generalización es a menudo
complicado y suele requerir ideas esencialmente nuevas. Tanto es así que aún
hoy existen hechos sobre cuerpos cuadráticos que plausiblemente deberían corresponderse
con hechos generales sin que tan siquiera se sepa cómo abordar el
problema de formularlos adecuadamente.
Los resultados fundamentales que hemos probado hasta ahora (finitud del
número de clases, cálculo de unidades fundamentales, etc) fueron obtenidos
por Gauss en el caso cuadrático, aunque en términos muy diferentes a los que
nosotros hemos empleado. La teoría de Gauss trata sobre formas cuadráticas
binarias, pero es equivalente a la teoría de cuerpos cuadráticos debido a que la
relación entre módulos y formas que hemos estudiado puede refinarse en el caso
cuadrático hasta tal punto que permite traducir fielmente cualquier hecho sobre
formas a un hecho análogo sobre módulos y viceversa.
Sin embargo, hay un sentido en el que ambos enfoques no son equivalentes,
y es que mientras la mayor parte de la teoría resulta más natural en términos
de módulos, lo cierto es que hay algunos conceptos de gran importancia teórica
que resultan completamente naturales en términos de formas y sin embargo hace
falta profundizar mucho en la teoría para comprender completamente su sentido
en términos de módulos. Por ello resulta enriquecedor conocer ambos planteamientos
y la relación entre ambos. En este capítulo nos limitaremos a exponer
la parte de la teoría de Gauss sobre formas cuadráticas que se corresponde con
la teoría que ya conocemos, a la vez que mostraremos las simplificaciones de la
teoría general aplicada al caso cuadrático. Esto nos servirá de preparativo para
desarrollar en capítulos posteriores el resto de dicha teoría, cuya generalización
ha constituido uno de los problemas centrales de la teoría desde la época de
Gauss hasta mediados del presente siglo.
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