Teoria Numeros C Ivorra Castillo

236 Capítulo 9. La teoría de los géneros
Concluimos que los números de la forma x 2 + y 2 son aquellos cuya parte
libre de cuadrados no contiene primos congruentes con −1 módulo 4 (o equivalentemente,
está formada por primos congruentes con 1 módulo 4 más el 2).
El mismo análisis vale para los números de la forma x 2 +2y 2 . Ahora D = −8
y U 8 = { [1], [3], [5], [7] } . Como (−8/3)=(1/3) = 1, tenemos χ K (3) = 1, luego
χ K (5) = χ K (7) = −1.
Los números de la forma x 2 +2y 2 son aquellos cuya parte libre de cuadrados
no contiene más primos que 2 y los congruentes con 1 o 3 módulo 8.
Para x 2 +3y 2 el discriminante es D = −2 2 · 3, luego la forma está asociada
al orden O 2 de Q (√ −3 ) . El teorema anterior nos da que los números impares
de la forma x 2 +3y 2 son aquellos cuya parte libre de cuadrados no contiene más
primos que 3 y los congruentes con 1 módulo 3. Es claro que todo número en
estas condiciones es de la forma x 2 +3y 2 aunque sea par. Por otra parte, 2 es
primo en Q (√ −3 ) y debe dividir a los dos conjugados x ± y √ −3 con la misma
multiplicidad, luego la multiplicidad de 2 en x 2 +3y 2 = ( x+y √ −3 )( x−y √ −3 )
ha de ser par. Así, si un primo p divide a la parte libre de cuadrados de x 2 +3y 2 ,
necesariamente p es impar y se corresponde con un primo de norma p en la
factorización de x 2 +3y 2 , luego es 3 o congruente con 1 módulo 3, es decir, la
condición vale en realidad para todos los números, pares o impares.
La forma x 2 +4y 2 tiene discriminante −16, y está asociada al orden O 2 de
Q(i). El teorema anterior nos da que si k es impar entonces esta forma representa
a k siysólo si su parte libre de cuadrados consta de primos congruentes con
1módulo 4. Si k es par entonces x 2 +4y 2 =2r implica que x es par, luego
k =4x 2 +4y 2 , luego un número par está representado por esta forma si y sólo
si es múltiplo de 4 y al dividirlo entre 4 está representado por x 2 + y 2 .
En resumen: Los números representados por x 2 +4y 2 son aquellos cuya parte
libre de cuadrados consta de primos congruentes con 1 módulo 4 y el 2, pero
con la condición de que si aparece el 2 su multiplicidad en k sea mayor que 1.
Muy diferente es el caso de la forma x 2 +5y 2 . Se trata de la forma principal
de discriminante −20, asociada a Q (√ −5 ) , pero el número de clases de este
cuerpo es 2. Esto significa que hay otra forma no equivalente con el mismo
discriminante. Es fácil ver que se trata de 2x 2 +2xy +3y 2 .
Así pues, las condiciones del teorema anterior son necesarias y suficientes
para que un número k esté representado por una de las dos formas,
f(x, y) =x 2 +5y 2 o g(x, y) =2x 2 +2xy +3y 2 .
Más aún, ningún número puede estar representado a la vez por las dos formas,
o de lo contrario ambas serían del mismo género, pero como −20 es divisible
entre dos primos, el cuerpo tiene dos géneros y las dos clases son de géneros
diferentes.
Por ejemplo, g(1, 0) = 2 y g(0, 1) = 3, mientras que f(1, 1) = 6. Vemos así
que f representa a un número libre de cuadrados pero no representa a ninguno