Teoria Numeros C Ivorra Castillo

202 Capítulo 8. El teorema de Hasse-Minkowski
2) Igualmente:
∏
(2, −1) p =(2, −1) 2 (2, −1) ∞ =1· 1=1.
p
La primera ley suplementaria se cumple si y sólo si
∏
( ) −1
(q, −1) p =(q, −1) 2 (q, −1) q =(−1) (q−1)/2 =1.
q
p
3) La segunda ley suplementaria se cumple si y sólo si
∏
( )
(2,q) p =(2,q) 2 (2,q) q =(−1) (q2 −1)/8 2
=1.
q
p
Y la ley de reciprocidad principal se cumple si y sólo si
∏
(q, q ′ ) p =(q, q ′ ) 2 (q, q ′ ) q (q, q ′ ) q ′
p
=(−1) (q−1)(q′ −1)/4
( )( ) q q
′
q ′ =1.
q
En el próximo capítulo demostraremos la fórmula del producto de los símbolos
de Hilbert y con ella tendremos probada la ley de reciprocidad cuadrática.
Observar que esta fórmula explica por qué en el teorema 8.30 no era necesaria
la hipótesis de que la forma cuadrática representara 0 en Q 2 : a efectos de
representación de 0 toda forma f con tres variables puede expresarse como
ax 2 + by 2 − z 2 (tomando una equivalente diagonal y dividiendo entre el tercer
coeficiente). Entonces, (a, b) p = 1 equivale a que f represente 0 en Q p ,yla
fórmula del producto implica que si esto sucede para todos los primos salvo
quizá uno (incluido p = ∞) también ha de cumplirse para éste último.
8.6 Conclusión de la prueba
Para completar la prueba del teorema 8.30 necesitaremos el siguiente hecho
auxiliar:
Teorema 8.38 Sea K un cuerpo de característica distinta de 2 y con más de
cinco elementos. Si una forma cuadrática diagonal representa 0 en K, entonces
tiene una representación de 0 en la que ninguna variable toma el valor 0.
Demostración: Primeramente demostramos que si ax 2 = c ≠ 0, entonces
para todo b ≠ 0 existen elementos no nulos α y β tales que aα 2 + bβ 2 = c. Para
ello consideramos la identidad
(t − 1) 2
(t +1) 2 + 4t
(t +1) 2 =1.