Teoria Numeros C Ivorra Castillo

210 Capítulo 9. La teoría de los géneros
forma cuadrática, es necesario que las congruencias f(x, y) ≡ m (mód n) tengan
solución para todo número natural n. Dedicamos la primera sección a estudiar
este problema.
9.1 Equivalencia modular
Del mismo modo que en el estudio de la representabilidad de números por
formas cuadráticas es imprescindible el concepto de equivalencia, para estudiar
la representabilidad módulo un natural n hemos de introducir la equivalencia
módulo n:
Definición 9.1 Diremos que dos formas cuadráticas f y g son equivalentes
módulo un natural n>1 si existen enteros a, b, c, d tales que
f(x, y) ≡ g(ax + by, cx + dy) (mód n) (ad − bc, n) =1.
Al exigir que el determinante del cambio de variables sea primo con n garantizamos
que tenga inverso módulo n, de modo que dos formas equivalentes
módulo n representan los mismos números módulo n. Es obvio que la equivalencia
módulo n es una relación de equivalencia en el sentido usual del término, así
como que dos formas equivalentes (en Z) son equivalentes módulo cualquier natural
n. El teorema siguiente nos indica que es suficiente estudiar la equivalencia
módulo potencias de primos.
Teorema 9.2 Sean m y n dos números naturales primos entre sí. Entonces
dos formas cuadráticas son equivalentes módulo mn siysólo si son equivalentes
módulo m ymódulo n.
Demostración: Si tenemos que f(x, y) ≡ g(a 1 x+a 2 y, a 3 x+a 4 y) (mód m)
y f(x, y) ≡ g(b 1 x + b 2 y, b 3 x + b 4 y) (mód n), donde los determinantes de los
cambios son primos con m y n respectivamente, por el teorema chino del resto
podemos encontrar enteros c i tales que c i ≡ a i (mód m) yc i ≡ b i (mód n).
Entonces f(x, y) es congruente con g(c 1 x + c 2 y, c 3 x + c 4 y)módulo m ymódulo
n, luego también módulo mn, y es fácil ver que el determinante de este cambio
es también primo con mn, luego f y g son equivalentes módulo mn. El recíproco
es obvio.
Para estudiar la equivalencia módulo una potencia de primo p n vamos a
buscar formas equivalentes a una dada lo más sencillas posibles. Supongamos
primero p ≠ 2. Dada una forma f(x, y) de discriminante D, el teorema 6.10 nos
da otra forma equivalente ax 2 + bxy + cy 2 tal que p ∤ a. El cambio de variables
x = x ′ − by ′
y = 2ay ′
la transforma en
a(x 2 − Dy 2 ). (9.1)