Teoria Numeros C Ivorra Castillo

288 Capítulo 11. La función dseta de Dedekind
Demostración: Dado ɛ>0, sea n 0 tal que 1/n δ n 0 . Entonces
M∑
k=N
k=N
a k
k s =
M∑
k=N
= − A N−1
N s +
A k − A k−1
k s =
M−1
∑
k=N
M∑
k=N
(
Ak
k s −
M−1
A k
k s − ∑
k=N−1
A k
(k +1) s
A )
k
(k +1) s + A M
M s ,
luego si, según la hipótesis, se cumple que |A k |≤C para todo k, entonces
∣ M∑ a ∣∣∣∣
k
∣ k s ≤ C M−1
N s + C ∑
( )
1
k s − 1
(k +1) s + C M s = 2C
N s < 2Cɛ
k=N
para todo s en el intervalo [δ, +∞[.
Teorema 11.25 Si χ es un carácter modular no principal la serie
L(s, χ) =
∞∑
n=1
χ(n)
n s
converge para todo número real s>0 y la convergencia es uniforme en cada
intervalo [δ, +∞[. En particular la función L(s, χ) es continua en ]0, +∞[.
Demostración: Es una consecuencia inmediata del teorema anterior pues,
si m es el conductor de χ, el teorema 11.16 nos da que ∑ χ(n) = 0 cada vez que
n
n recorre un conjunto completo de representantes de las clases módulo m. D e
aquí se sigue inmediatamente que todas las sumas finitas están acotadas.
Es importante tener presente que la expresión de L(s, χ) como producto sólo
es válida en ]1, +∞[ y que la convergencia de la serie no es absoluta en ]0, 1].
En particular tenemos que
L(1,χ)=
∞∑
n=1
χ(n)
, para χ ≠ 1 (11.15)
n
Ahora que sabemos que L(s, χ) converge en 1 podemos llevar más lejos el
teorema 11.23 y obtener de la fórmula que necesitaba Kummer para caracterizar
los primos regulares.
Teorema 11.26 Sea K el cuerpo ciclotómico de orden 2m, sea∆ su discriminante
y R su regulador. Entonces, el número de clases de K es
h =
2m√ |∆|
(2π) φ(2m)/2 R
∏
L(1,χ),
χ≠1
donde χ recorre los caracteres no principales módulo m.