Teoria Numeros C Ivorra Castillo

3.4. La función de Euler generalizada 71
que f ≠ f ′ , o equivalentemente, que la extensión de cuerpos de restos no es
trivial.
El grupo de Galois de O/Q tiene orden f, luego contiene un automorfismo
de orden 2, digamos σ. Puesto que [ω] esraíz del polinomio ciclotómico módulo
Q, hadeserσ ( [ω] ) =[ω] r , para cierto r primo con p. Como tiene orden 2, ha
de ser ω r2 ≡ ω (mód Q), luego Q | ω r2 − ω y de aquí que Q | ω r2−1 − 1. Ahora
bien, este número es primo y divide a p salvo que p | r 2 − 1. Ésta es la única
posibilidad, luego r ≡±1 (mód p), y en consecuencia σ ( [ω] ) =[ω] ±1 . Como
σ tiene orden 2 el signo ha de ser negativo, y en general σ ( [ω i ] ) =[ω −i ]. Si
llamamos η i = ω i + ω −i las clases de estos números generan O ′ /q y todas son
fijadas por σ, luego σ es la identidad en O ′ /q ynoenO/Q. Los dos cuerpos son
distintos.
La demostración de este teorema se simplifica considerablemente en un contexto
más adecuado. La hemos incluido aquí porque estos cuerpos nos proporcionarán
ejemplos interesantes y éste era el único hecho cuya justificación a
nuestro nivel presentaba inconvenientes.
3.4 La función de Euler generalizada
Completamos nuestro estudio de los ideales de los cuerpos numéricos generalizando
la función de Euler que nos permite calcular el número de unidades
módulo un ideal.
Definición 3.23 Sea K un cuerpo numérico. Llamaremos función de Euler
generalizada de K a la función que a cada ideal a de K le hace corresponder el
orden Φ(a) del grupo (O K /a) ∗ de las unidades módulo a.
Es evidente que (O K /a) ∗ está formado por las clases de los enteros α que
cumplen a +(α) = 1. El teorema siguiente nos permite calcular fácilmente la
función de Euler:
Teorema 3.24 Sea K un cuerpo numérico.
1. si a y b son ideales de K tales que (a, b) =1entonces Φ(ab) =Φ(a)Φ(b).
2. Si p es un ideal primo de K, entonces Φ(p e )= ( N(p) − 1 ) N ( p ) e−1
.
Demostración: 1) es consecuencia inmediata del teorema chino del resto.
2) Sea π ∈ p \ p 2 . Si α recorre un conjunto de representantes de las N(p e )
clases módulo p e y β recorre un conjunto de representantes de las N(p) clases
módulo p, es claro que los elementos α+π e β son no congruentes dos a dos módulo
p e+1 , y como hay N(p) e+1 de ellos, concluimos que forman un conjunto de
representantes de las clases módulo p e+1 . También es claro que (α+π e β,π) =1
si y sólo si (α, π) =1.
Por lo tanto, para cada unidad [α] módulo p e hay N p unidades [α + π e β]
módulo p e+1 , es decir, se cumple Φ(p e+1 )=N(p)Φ(p e ). Ahora sólo queda notar
que Φ(p) =N(p) − 1 porque O K /p es un cuerpo.