Teoria Numeros C Ivorra Castillo

5.5. La fracción continua de e 125
Demostración:
ecuaciones:
La ecuación matricial equivale al siguiente sistema de
up n−1 + vq n−1 = r m−1 u ′ , (5.8)
wq n−1 = s m−1 u ′ , (5.9)
up n−2 + vq n−2 = r m−1 v ′ + r m−2 w ′ , (5.10)
wq n−2 = s m−1 v ′ + s m−2 w ′ . (5.11)
Como r m−1 y s m−1 son enteros primos entre sí, de (5.7) se sigue que los
cocientes
up n−1 + vq n−1
= wq n−1
r m−1 s m−1
son un mismo número entero u ′ que satisface (5.8) y (5.9). Considerando el
segundo cociente concluimos que u ′ > 0.
Las ecuaciones (5.10) y (5.11) forman un sistema de ecuaciones lineales de
determinante ±1, luego tiene solución entera v ′ , w ′ .
Tomando determinantes en la ecuación matricial llegamos a que
uw(−1) n−1 =(−1) m−1 u ′ w ′ ,
y puesto que m ≡ n (mód 2), podemos concluir que D = uw = u ′ w ′ . De aquí
se deduce además que w ′ > 0. De (5.11) se sigue que
v ′ = wq n−1 − s m−2 w ′
sm − 1
≥− s m−2
s m−1
w ′ ≥−w ′ ,
y usando además (5.9)
v ′ = wq n−2 − s m−2 w ′
≤ w q n−2 = u′
q n−2 ≤ u ′ .
s m−1 s m−1 q n−1
Por el teorema 5.8 tenemos
ξ = p n−1ξ n + p n−2
q n−1 ξ n + q n−2
.
Haciendo uso de esto y de las ecuaciones que definen a u ′ , v ′ , w ′ llegamos a que
η = uξ + v = (up n−1 + vq n−1 )ξ n +(up n−2 + vq n−2 )
w
w(q n−1 ξ n + q n−2 )
= r m−1u ′ ξ n + r m−1 v ′ + r m−2 w ′
s m−1 u ′ ξ n + s m−1 v ′ s m−2 w ′ ,
de donde, de acuerdo con la definición η m =(u ′ ξ n + v ′ )/w ′ , se concluye
η = r m−1η m + r m−2
s m−1 η m + s m−2
.
Consecuentemente η =[b 0 ,b 1 ,...,b m−1 ,η m ].