Teoria Numeros C Ivorra Castillo

32 Capítulo 2. Cuerpos numéricos
Teorema 2.22 Si K es un cuerpo numérico, entonces O K es un orden de K
que contiene a todos los órdenes.
Demostración: Según acabamos de comentar, K tiene una base B formada
por enteros. Los discriminantes de estas bases son enteros racionales,
luego podemos tomar una base de K formada por enteros tal que el número
natural ∣ ∣∆[B] ∣ sea mínimo. Digamos B = {b 1 ,...,b n }. Vamos a probar que
entonces B es una base de O K como módulo. Obviamente sus elementos son
linealmente independientes sobre Z, pues lo son sobre Q. Basta probar que
generan O K .
Supongamos, por el contrario, que existe un elemento d ∈ O K que no
pertenezca al submódulo generado por {b 1 ,...,b n }. Como en cualquier caso
{b 1 ,...,b n } es una base de K, se cumplirá que
d = a 1 b 1 + ···+ a n b n , (2.4)
para ciertos números racionales a 1 , ... , a n no todos enteros. Podemos suponer
que a 1 /∈ Z. Sea a 1 = a + r, donde a ∈ Z y0