Teoria Numeros C Ivorra Castillo

274 Capítulo 11. La función dseta de Dedekind
hechos más simples igualmente importantes y que dan idea del papel que juega
la fórmula de Euler generalizada en los problemas que nos ocupan.
∑
Por ejemplo, Gauss utilizó lafórmula de Euler para probar que la serie
1
p
es divergente, donde p recorre los números primos, lo que no sólo implica
la existencia de infinitos primos, sino que, en cierto sentido, los primos son
relativamente abundantes entre los números naturales. El argumento de Gauss
se generaliza sin dificultad a cuerpos numéricos arbitrarios. Mas aún, permite
probar que existen infinitos primos de norma prima.
Teorema 11.10 Todo cuerpo numérico tiene infinitos primos de norma prima.
De hecho, si p 1 recorre los primos de norma prima de un cuerpo numérico,
entonces
∑ 1
p 1
N(p 1 ) =+∞.
Demostración: Si en la fórmula del teorema anterior tomamos logaritmos
nos queda
log ζ K (s) =− ∑ (
log 1 − 1 )
N(p) s ,
p
y usando el desarrollo de Taylor
log(1 + x) =
∞∑ (−1) m
m=1
m xm , para |x| < 1,
obtenemos
log ζ K (s) = ∑ ∞∑ 1
m N(p) ms (11.10)
p m=1
(notar que todas las series convergen absolutamente). Sea
P (s) = ∑ 1
p 1
N(p 1 ) s ,
donde p 1 recorre los primos de norma prima de K, y sea G(s) la suma de los
términos restantes de (11.10), es decir,
G(s) = ∑ p 1
∞ ∑
m=2
1
m N(p 1 ) ms + ∑ q
∞∑
m=1
1
m N(q) ms ,
donde q recorre los primos tales que N(q) =q f con f>1. Para cada uno de
estos primos
∞∑ 1
m N(q) ms < ∑ ∞
1
q 2ms = 1
q 2s − 1 ≤ 2
q 2s .
m=1
m=1
Por otra parte
∞∑
m=2
∞
1
m N(p 1 ) ms < ∑
m=2
1
p ms = 1
p s (p s − 1) ≤ 2
p 2s .