Teoria Numeros C Ivorra Castillo

306 Capítulo 12. Sumas de Gauss
De aquí concluimos que la forma x 2 + y 2 representa el mismo número de veces
cada clase no nula módulo p.
Si (−1/p) =−1, entonces x 2 + y 2 =0sólo sucede cuando x = y =0. Por
lo tanto, de los p 2 sumandos de (12.3), hay uno igual a ω 0 = 1 y los p 2 − 1
restantes se reparten entre las p − 1 potencias no triviales de ω, de modo que
cada una aparece p + 1 veces. Por consiguiente
∑p−1
γ 2 =1+(p +1) ω r =1+(p − 1)(−1) = −p =
r=1
( ) −1
p.
p
Si (−1/p) = 1 entonces para cada clase x ∈ U p , la ecuación x 2 + y 2 = 0 tiene
exactamente dos soluciones, luego en total hay 2(p − 1) + 1 representaciones del
0, que se corresponden con otros tantos sumandos iguales a 1 en (12.3). Queda
un total de p 2 − 2p +1=(p − 1) 2 sumandos, con lo que cada potencia de ω no
trivial aparece p − 1 veces. Así pues,
∑p−1
γ 2 =2p − 1+(p − 1) ω r =2p − 1+(p − 1)(−1) = p =
Por otra parte,
r=1
γ q =
p∑
ω qx2 =
x=0
( q
p)
γ,
( ) −1
p.
p
pues si (q/p) = 1 entonces q ≡ u 2 (mód p), luego qx 2 ≡ (ux) 2 (mód p) y cuando
x recorre las clases módulo p lo mismo vale para ux. Por lo tanto en este caso
γ q = γ. En cambio, si (q/p) =−1 los exponentes de γ q recorren dos veces los
restos no cuadráticos módulo p (más el cero), mientras que los de γ recorren
dos veces los restos cuadráticos (más el cero). Claramente entonces γ + γ q =0,
pues es dos veces la suma de todas las potencias de ω.
Con esto tenemos que γ q−1 =(q/p). Ahora bien, γ 2 ∈ Z/qZ y será un resto
cuadrático módulo q siysólo si γ ∈ Z/qZ,siysólo si γ q−1 = γ. Por consiguiente
( ( )
q γ
2
= =
p)
q
( ) (p−1)/2 ( )
( )
−1 p p
=(−1) (p−1)(q−1)/4 .
q
q q
12.3 El signo de las sumas cuadráticas
Una de las características de Gauss era su extremada meticulosidad. En sus
trabajos no dejaba de discutir el menor aspecto de cualquier problema, y así,
a pesar de que la fórmula del teorema 12.5 era suficiente para demostrar la ley
de reciprocidad cuadrática, quedaba planteado el problema de calcular el valor
exacto de G(p).