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140 Ingeniería de control moderna
A-4-1.
EJEMPLOS DE PROBLEMAS Y SOLUCIONES
En el sistema de nivel de líquido de la Figura 4-27, suponga que el caudal de salida Q m 3 /seg a
través de la válvula de salida se relaciona con la altura H m mediante
Q % K ∂H % 0.01 ∂H
Suponga también que cuando el caudal de entrada Q i es 0.015 m 3 /seg, la altura permanece constante.
Para t a 0 el sistema está en estado estacionario (Q i % 0.015 m 3 /seg). En t % 0 la válvula de
entrada se cierra y, por tanto, no hay entrada para t n 0. Encuentre el tiempo necesario para vaciar
el tanque a la mitad de la altura original. La capacitancia C del tanque es 2 m 2 .
Solución. Cuando la altura es estacionaria, el caudal de entrada es igual al de salida. Por tanto,
la altura H o en t % 0 se obtiene a partir de
o bien
La ecuación para el sistema para t b 0es
o bien
Por tanto,
dH
0.015 % 0.01 ∂H o
H o % 2.25 m
.CdH% Qdt
dt % . Q C
%
.0.01 ∂H
2
dH
% .0.005 dt
∂H
Suponga que, en t % t 1 , H % 1.125 m. Integrando ambos miembros de esta última ecuación, se
obtiene
I 1.125 dH
2.25 ∂H % I t 1
(.0.005) dt % .0.005t 1
0
De aquí se sigue que
o bien
2 ∂H % 2 ∂1.125 . 2 ∂2.25 % .0.005t 1
G1.125 2.25
t 1 % 175.7
Por tanto, la altura se reduce a la mitad del valor original (2.25 m) en 175.7 seg.
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Figura 4-27. Sistema de nivel de líquidos.