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Capítulo 6. Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 287
8. Determinar los polos en lazo cerrado. Un punto específico de cada ramificación del lugar
de las raíces será un polo en lazo cerrado si el valor de K en dicho punto satisface la condición
de magnitud. Por otra parte, la condición de magnitud permite determinar el valor de la
ganancia K en cualquier localización de las raíces sobre el lugar. (Si es necesario, se establece
una parametrización de los lugares de las raíces en términos de K. Los lugares de las raíces son
continuos con K.)
El valor de K que corresponde a cualquier punto s sobre el lugar de las raíces se obtiene a
partir de la condición de magnitud, o bien
producto de las longitudes entre el punto s y los polos
K %
producto de las longitudes entre el punto s y los ceros
Este valor puede calcularse de forma gráfica o analíticamente. (Se puede utilizar MATLAB
para parametrizar el lugar de las raíces con K. Véase la Sección 6-3.)
Si en este problema se da la ganancia K de la función de transferencia en lazo abierto,
entonces, aplicando la condición de magnitud se encuentra la localización correcta de los polos
en lazo cerrado para un K determinado sobre cada ramificación de los lugares de las raíces,
mediante una aproximación de prueba y error o mediante MATLAB, que se presentará en la
Sección 6-3.
Comentarios acerca de las gráficas del lugar de las raíces. Se observa que la
ecuación característica del sistema cuya función de transferencia en lazo abierto es
G(s)H(s) % K(sm ! b 1 s m.1 ! ñ ! b m )
s n ! a 1 s n.1 ! ñ ! a n
(n n m)
es una ecuación algebraica en s de n-ésimo grado. Si el orden del numerador de G(s)H(s) es
menor que el del denominador en dos o más (lo que significa que hay dos o más ceros en infinito),
el coeficiente a 1 es la suma negativa de las raíces de la ecuación y es independiente de K. En
este caso, si alguna de las raíces se mueve en el lugar de las raíces hacia la izquierda, cuando K
aumenta, las otras raíces deben moverse hacia la derecha cuando aumenta K. Esta información es
útil para encontrar la forma general de los lugares de las raíces.
También se observa que un cambio ligero en la configuración de los polos y ceros provoca
cambios significativos en las gráficas del lugar de las raíces. La Figura 6-13 muestra el hecho de
que un cambio ligero en la situación de un cero o polo hará muy diferente la gráfica del lugar
de las raíces.
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Figura 6-13. Gráfica del lugar de las raíces.