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Capítulo 7. Análisis y diseño de sistemas de control por el método de la respuesta en frecuencia 513
ta en frecuencia se basa en la combinación de las técnicas de diseño analizadas en la compensación
de adelanto y la compensación de retardo.
Supóngase que el compensador de retardo-adelanto tiene la forma siguiente:
G c (s) % K c
(T 1 s ! 1)(T 2 s ! 1)
A T 1
b s ! 1 B (bT 2s ! 1)
% K c
A s ! 1 T 1 BA s ! 1 T 2 B
As ! b s !
T 1 BA 1
bT 2 B
(7-28)
donde b b 1. La parte de adelanto de fase del compensador de retardo-adelanto (la parte que
contiene T 1 ) altera la curva de respuesta en frecuencia añadiendo un ángulo de adelanto de fase e
incrementando el margen de fase en la frecuencia de cruce de ganancia. La parte de retardo de
fase (la parte que contiene T 2 ) proporciona una atenuación cerca y por encima de la frecuencia de
cruce de ganancia y, por tanto, permite un incremento de la ganancia en el rango de bajas frecuencias
que mejora el comportamiento en estado estacionario.
Se ilustran los detalles de los procedimientos para diseñar un compensador de retardo-adelanto
mediante un ejemplo.
EJEMPLO 7-28 Sea el sistema con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es
K
G(s) %
s(s ! 1)(s ! 2)
Se desea que la constante de error estático de velocidad sea de 10 seg .1 , que el margen de fase
sea de 50 o y que el margen de ganancia sea de 10 dB o más.
Suponga que se usa el compensador de retardo-adelanto dado por la Ecuación (7-28). [Observe
que la parte de adelanto de fase aumenta tanto el margen de fase como el ancho de banda (que
implica aumentar la velocidad de respuesta). La parte de retardo de fase mantiene la ganancia a
bajas frecuencias.]
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es G c (s)G(s). Como la
ganancia K de la planta es ajustable, se supone que K c % 1. En este caso, lím G c (s) % 1.
sr0
A partir del requisito sobre la constante de error estático de velocidad, se obtiene
Por tanto,
K
K v % lím sG c (s)G(s) % lím sG c (s)
sr0
sr0 s(s ! 1)(s ! 2) % K 2 % 10
K % 20
A continuación se dibujan los diagramas de Bode del sistema no compensado con K % 20, tal
como se muestra en la Figura 7-111. El margen de fase del sistema no compensado pero ajustado
en ganancia es de -32 o , lo que indica que el sistema es inestable.
El paso siguiente en el diseño de un compensador de retardo-adelanto es seleccionar una nueva
frecuencia de cruce de ganancia. A partir de la curva de fase de G(ju), se observa que
G( ju) %.180 o en u % 1.5 rad/seg. Es conveniente elegir la nueva frecuencia de cruce de ganancia
como 1.5 rad/seg, a fin de que el adelanto de fase requerido en u % 1.5 rad/seg sea de
alrededor de 50 o , lo que es muy posible mediante una red de retardo-adelanto.
Una vez que se ha seleccionado la frecuencia de cruce de ganancia en 1.5 rad/seg se puede
determinar la frecuencia esquina de la parte de retardo de fase del compensador de retardo-adelanto.
Se selecciona la frecuencia esquina u % 1/T 2 (que corresponde al cero de la parte de retardo
de fase del compensador) que se encuentra una década por debajo de la nueva frecuencia de
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cruce de ganancia, o en u % 0.15 rad/seg.